Una aplicación $f: V \longrightarrow V'$ entre dos $\mathbb{K}$-espacios vectoriales es lineal si se comporta bien con respecto a la estructura de espacio vectorial, es decir si $f(u+v)=f(u)+f(v)$ y $f(k u)= kf(u)$ para cualesquiera $u,v \in V$, $k \in \mathbb{K}$.
Una aplicación lineal está univocamente determinada por la imagen de los vectores de una base. Si por ejemplo $f:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ y
$f(1,0)= (1,2)$, $f(0,1)= (3,5)$, entonces para un vector cualquiera $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tenemos:
$$
f(x,y)= f(x·(1,0) + y · (0,1)) = x·f(1,0) + y · f(0,1) = x·(1,2) + y · (3,5) = (x+3y, 2x+5y)
$$
Más en general, si
$f(1,0)= (a,b)$, $f(0,1)= (c,d)$, entonces para un vector cualquiera $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tenemos:
$$
f(x,y)= f(x·(1,0) + y · (0,1)) = x·f(1,0) + y · f(0,1) = x·(a,b) + y · (c,d) = (ax+cy, bx+dy)
$$
Es decir la imagen del vector $(x,y)$ (en columna) se obtiene como
$$
\begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix}
·
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
$$
Cómo se determina la matriz asociada
Dada una aplicación lineal $f: V \longrightarrow V'$ y dadas bases $B$ de $V$ y $B'$ de $V'$, la matriz asociada a $f$ respecto de estas bases es la matriz $A=\mathfrak{M}_{B, B'}(f)$ cuyas columnas son las coordenadas respecto de $B'$ de las imagenes de los vectores de $B$. Si $dim(V)=n$ y $dim(V')=m$, $A$ es una matriz de orden $m\times n$.
Cuando el espacio de partida y de llegada son el mismo se dice que $f$ es un endomorfismo y en tal caso es usual considerar la misma base en ambos casos y denotar $\mathfrak{M}_{B}(f)$
Para determinar $\mathfrak{M}_{B, B'}(f)$ hemos de:
Tomar los vectores de $B$.
Aplicarles $f$.
Tomar coordenadas respecto de $B'$.
Ponerlos por columnas en una matriz.
Se considera la aplicación lineal $D: \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$
que a cada polinomio de $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ le asigna su derivada: $D(p(x))=p'(x)$. Determinar la matriz asociada a $D$ respecto de la base estándar $B=\{ 1, x, x^2, x^3\}$.
La matriz asociada a una aplicación lineal $f$ respecto de las bases $B$ y $B'$ permite a partir de las coordenadas de un vector $x$ respecto de $B$ calcular las coordenadas de su imagen $y=f(x)$ respecto de $B'$:
Si denotamos $x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)_B$, $y= f(x) = (y_1, y_2, \cdots , y_m)_{B'}$ entonces
$$
\begin{pmatrix}
y_1\\ y_2 \\ \vdots \\ y_m
\end{pmatrix}
=
A ·
\begin{pmatrix}
x_1\\ x_2 \\ \vdots\\ x_n
\end{pmatrix}
$$
o usando la notación usual:
$$ Y = A · X $$
Por ejemplo, en el ejercicio anterior hemos obtenido la matriz
$$
A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Podemos usar esta matriz para calcular la imagen (derivada) de un polinomio:
Dado $p(x)= 1 +2 x^2 + 5 x^3$
sus coordenadas respecto de la base estándar son $p(x)=(1,0,2,5)$
$$
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 2 \\ 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 4 \\ 15 \\ 0
\end{pmatrix}
$$
y por tanto $D(p(x))$ tiene coordenadas $(0,4,15,0)_B$, es decir, $D(p(x))= 4x+15x^2$ (como era de esperar).
De una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ se sabe que:
$$
\begin{array}{l}
f(1,0,0)=(1,0)\\
f(0,1,0)= (1,1) \\
f(0,0,1)=(0,-1)
\end{array}
$$
Determinar la matriz asociada a $f$ respecto de las respectivas bases canónicas de $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^2$ y calcular
$f(1,2,1)$.
La matriz asociada a $f$ respecto de las bases canónicas será:
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$
La imagen de $(1,2,1)$ se obtiene multiplicando por $A$:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\ 1
\end{pmatrix}
$$
$$
f(1,2,1) = (3,1)
$$.
En general, la imagen de un vector $(x,y,z)$ será
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+y \\ y-z
\end{pmatrix}
$$