Guía docente de Análisis Funcional (297114D)

Tener cursadas las asignaturas básicas y obligatorias de los dos primeros cursos del Grado de Matemáticas

• Espacios normados
• Espacios de Hilbert
• Operadores compactos en espacios de Hilbert
• Dualidad en espacios normados
• Topologías débiles

Objetivos generales:

• Capacidad de abstracción para el estudio de problemas típicos del Análisis Matemático desde un punto de vista funcional, comprendiendo las ventajas de los métodos funcionales para la resolución de diversos problemas.
• Familiaridad con algunos espacios de funciones de uso constante en Análisis Matemático y en sus Aplicaciones: espacios de funciones continuas, diferenciables, analíticas o armónicas, integrables, etc.
• Preparación para estudios posteriores tanto en Análisis Matemático como en otras ramas de la Matemática.

Objetivos concretos:

• Usar los conceptos de sucesión convergente y de sucesión de Cauchy en espacios normados y comprender la noción de completitud.
• Usar las desigualdades de Hölder y de Minkowski en casos concretos.
• Probar la continuidad y calcular la norma de algunos operadores lineales entre espacios normados.
• Describir el espacio dual de algunos espacios normados.
• Manejo de la proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert, desarrollo de Fourier respecto del sistema trigonométrico e igualdad de Bessel.
• Estudiar algunos ejemplos de operadores compactos relacionados con ecuaciones diferenciales e integrales.
• Calcular el operador adjunto de algunos operadores en espacios de Hilbert.
• Aplicar el Teorema de Hahn-Banach.
• Comprobar la reflexividad de algunos espacios de Banach.
• Utilizar el Principio de Acotación Uniforme.
• Formular las topologías débil y débil-* en algunos espacios.

Tema 1. Espacios normados.
Conceptos básicos y ejemplos.
Completitud.
Operadores y funcionales lineales continuos.
Subespacios complementados. Cociente de espacios normados.
Dual de un espacio normado. Ejemplos.
Espacios normados de dimensión finita.

Tema 2. Espacios de Hilbert.
Productos escalares. Espacios prehilbertianos.
Proyección sobre un convexo cerrado. Teorema de la proyección ortogonal. Teorema de Riesz-Fréchet. Dual de un espacio de Hilbert.
Bases ortonormales.
Operadores en espacios de Hilbert. Operadores compactos.

Tema 3. El teorema de Hahn-Banach.
Versión analítica del Teorema de Hahn-Banach.
Versión geométrica del Teorema de Hahn-Banach.
Separación de conjuntos convexos.

Tema 4: Dualidad en espacios normados
Dualidad de subespacios y cocientes. Adjunto de un operador.
Bidual de un espacio normado. Espacios reflexivos. Espacios uniformemente convexos.
La topología débil de un espacio normado y la topología débil-* de su dual.

Tema 5: El principio de acotación uniforme y el teorema de la gráfica cerrada.
Lema de categoría de Baire.
El Teorema de Banach-Steinhaus. Aplicaciones.
Teoremas de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada. Aplicaciones.

Las prácticas de esta asignatura consisten en la resolución de ejercicios y problemas relacionados con los contenidos teóricos.

BREZIS, H.: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011.

MacCLUER, B.D.: Elementary Functional Analysis. Springer, 2009.

KADETS, V.; A Course in Functional Analysis and Measure Theory, Springer, 2018.

Apuntes del Prof. Rafael Payá: https://www.ugr.es/~rpaya/cursosanteriores.htm

Apuntes del Prof. Javier Pérez: https://www.ugr.es/~fjperez/apuntes.html

RINNE, P.R.; YOUNGSON,M.A.: Linear Functional Analysis. 2nd ed. Springer, 2008.

WILLEM, M.: Functional Analysis. Fundamentals and Applications. Birkhäuser, 2010.

BERBERIAN, S.K.: Lectures in Functional Analysis and Operator Theory.Springer-Verlag, New York, 1974.

CONWAY, J.K.: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag. New York, 1990.

DIEUDONNÉ,J.: History of Functional Analysis. North-Holland,Amsterdam,1981.

RUDIN, W.: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York, 1973.

http://mathworld.wolfram.com/topics/FunctionalAnalysis.html

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Functional_analysis

• MD01. Lección magistral/expositiva 
• MD03. Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD06. Análisis de fuentes y documentos 
• MD07. Realización de trabajos en grupo 
• MD08. Realización de trabajos individuales 

La asignatura se evaluará mediante un sistema de evaluación diversificada basado en los siguientes criterios:

- Asistencia y participación activa en las sesiones de clases teóricas y prácticas.
- Resolución de problemas y ejercicios propuestos.
- Participación en talleres de problemas
- Pruebas escritas de carácter teórico y práctico.

El resultado de este proceso de evaluación diversificada representará el 30% de la calificación final.

Para la valoración global de los conocimientos asimilados y de las competencias adquiridas por los estudiantes, se realizará una prueba final por escrito, de carácter obligatorio, que constará de una parte práctica y otra de tipo teórico. La puntuación de esta prueba representará el 70% de la calificación final.

Se realizará un único examen de carácter teórico y práctico, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. Se realizará de manera presencial. La puntuación obtenida en este examen representará el 100% de la calificación.

El estudiantado que, siguiendo la normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan para su evaluación a la modalidad de Evaluación Única Final, realizarán un único examen que constará de teoría y problemas, que comprenderá todos los contenidos de la asignatura impartidos. Se realizará de manera presencial. La calificación obtenida en dicho examen representará el 100% de la calificación final.