4 Mecánica cuántica (MC)

El éxito de la teoría de Bohr condujo al desarrollo posterior de la mecánica cuántica (MC). Esta es la parte de la Física que se aplica a los sistemas microscópicos (átomos, núcleos, moléculas, etc). Según esta teoría las partículas no describen trayectorias definidas y sólo se puede conocer la probabilidad de encontrar una partícula en determinada región del espacio. El estado físico se describe por una función de onda compleja. Por ejemplo, para un electrón en el átomo de H, la función de onda será una función de $\vec{r}$ y $t$

$$\Psi=\Psi(\vec{r},t).$$

La probabilidad de encontrar alelectrón en un volumen $dV$ en el punto $\vec{r}$ y en el instante $t$ es

$$dP= \vert\Psi(\vec{r},t)\vert^2 dV.$$

La probabilidad total debe ser uno, por lo que la integral de volumen

$$\int_V \vert\Psi(\vec{r},t)\vert^2 dV = 1.$$

La función de onda se obtiene resolviendo la ecuación de Schroedinger

$$i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V(\vec{r})\Psi$$

donde $V(\vec{r})$ es la energía potencial.

Las órbitas estacionarias clásicas corresponden en MC a ondas estacionarias del tipo

$$\Psi(\vec{r},t)= \Psi(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}.$$

Resolviendo la ecuación de Schroedinger se obtienen las energías $E$ y funciones de onda $\psi(\vec{r})$ de los estados cuánticos estacionarios. Para el átomo de H se obtienen las mismas energías que en el modelo de Bohr. Ahora bien, desde el nuevo punto de vista, el electrón ya no describe una órbitas, sino que está descrito por la función de onda $\psi(\vec{r})$. Por ejemplo, para el nivel $n=1$ se obtiene

$$\psi_1(r)= \frac{e^{-r/a}}{\sqrt{\pi a^3}}$$

donde $a=$ radio de Bohr.