4.2.3 Caso específico

$N_0=10$ átomos de $^{42}$K ($T=12.4$h) se observan durante $t=3$h.

• Probabilidad de que un átomo sobreviva sin desintegrarse:
  
  $$q= e^{-\frac{\ln 2}{12.4\,\rm h}\times 3\,\rm h}=0.8456101$$
  
  

• Probabilidad de desintegracion:
  
  $$p=1-q=0.1543899$$
  
  

• Probabilidad de que 3 atomos dados (ej. 1,3,8) se desintegren:
  
  $$P(1,3,8)=p^3=0.0036800$$
  
  
  Esta probabilidad es independiente de lo que les ocurra a los otros 7 átomos.

• Probabilidad de que los otros 7 átomos sobrevivan:
  
  $$Q(2,4,5,6,7,9,10)=q^7=0.3091656$$
  
  

• Probabilidad de que los tres átomos se desintegren y el resto sobreviva:
  
  $$P(1,3,8)\times Q(2,4,5,6,7,9,10)=p^3q^7=0.0011377$$
  
  

• Probabilidad de que sólo 3 átomos se desintegren, no importa cual:
  
  $$P_3=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)p^3 q^7 =0.1365275$$
  
  

Nota: Combinaciones sin repeticion de 10 átomos tomados de 3 en 3:

$$\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}$$

En efecto: hay 10 opciones de elegir el primero, 9 para el segundo y 8 para el tercero

$= 10\times 9\times 8$ posibilidades

Como el orden en que se desintegran es irrelevante, se divide por el número de permutaciones 3!

Probabilidad de que se desintegren $n\leq 10$ átomos:

$$P_n=\left(\begin{array}{c}10\\ n\end{array}\right)p^n q^{10-n}$$

Ejemplos:

$$\begin{eqnarray*} P_6 &=& \left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)p^6 q^4 ... ...{c}10\\ 0\end{array}\right)p^0 q^{10} = 0.18693973 = 18.693973\% \end{eqnarray*}$$