4.3 Distribución de Poisson

$$P_n=\frac{(N_0p)^n}{n!} e^{-N_0p}$$

Propiedades:

1. Buena aproximación de la distribución binomial para

   $N_0\gg n$ y $p\ll 1$

2. Normalización: $\sum p_n =1$

3. Media: $\mu=\sum n p_n = N_0 p$

4. Varianza: $\sigma=\sqrt{\sum(n-\mu)^2p_n}=\sqrt{\mu}$

Demostración:

1. Binomial:
   $$\begin{eqnarray*} p_n&=&\left(\begin{array}{c}N_0\\ n\end{array}\right)p^n q^{N_... ...q& \frac{N_0^n}{n!}p^n e^{-N_0p} = \frac{(N_0p)^n}{n!}e^{-N_0p} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. Normalización:
   $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}p_n &=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mu^n}{n!}e^{-\mu} =e^{\mu}e^{-\mu} =1 \end{eqnarray*}$$
   
   

3. Media:

   Sea $f(x)\equiv\sum_n p_n x^n \Longrightarrow$

   $$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \sum \frac{(\mu x)^n}{n!}e^{-\mu}=e^{\mu x}e^{-\mu} =... ...1) &=& \sum np_n = \left. \mu e^{\mu(x-1)}\right\vert _{x=1}=\mu \end{eqnarray*}$$
   
   

4. Varianza:
   $$\begin{eqnarray*} f'{}'(x) &=& \sum_n n(n-1)p_n x^{n-2} \Longrightarrow \\ f'{}... ...m_n n^2 p_n -\mu^2 = \sum_n n p_n = \mu \\ \sigma&=& \sqrt{\mu} \end{eqnarray*}$$