Historia del Problema de Burnside.

Primero daremos dos definiciones:

• Un grupo G se dice periódico si para cada elemento, g de G, existe un n natural tal que g^n = 1.
• Un grupo G se dice periódico de exponente acotado si existe un n natural tal que g^n = 1 para todo elemento g de G. El mínimo de tales n es llamado el exponente G.

Por el teorema de Lagrange, todo grupo finito es periódico. En su artículo de 1902, Burnside introdujo lo que llamó "un punto todavía indeterminado en la teoría de grupos":

Problema General de Burnside (GBP): ¿Es un grupo periódico finitamente generado necesariamente finito?

Aunque, inmediatamente sugirió la pregunta mas natural: Problema de Burnside (BP): ¿Es un grupo periódico de exponente acotado y finitamente generado necesariamente finito?

Definición: Sea Fm el grupo libre de rango m. Para un n fijo, sea Fmn el subgrupo de Fm generado por todos los g^n, variando g en G. Entonces, Fmn es un subgrupo normal de Fm (de hecho es un subgrupo invariante por isomorfismos). Ahora, definimos el grupo de Burnside B(m, n) como el correspondiente grupo cociente Fm/Fmn.

Burnside mostró una serie de resultados en su artículo de 1902:

• B(1, n) es isomorfo a Cn.
• B(m, 2) es un grupo elemental abeliano de orden 2^n. O sea, un producto directo de n copias de C2.
• B(m, 3) es finito de orden menor o igual que 3^(2m-1).
• B(2, 4) es finito de orden menor o igual que 2^(12). Aunque Burnside afirmó la igualdad.

Burnside y Schur pronto hicieron mas progresos en dos artículos, que confirmaron que el problema no era elemental:

Teorema (Burnside 1905): Un grupo lineal finitamente generado que sea finito dimensional y tenga exponente finito es finito; i.e., cualquier subgrupo de GL(n,C) con exponente acotado es finito.

Teorema (Schur 1911): Cada subgrupo periódico finitamente generado de GL(n,C) es finito.

Estos resultados implican que cualquier contraejemplo a los problemas de Burnside serán difíciles de encontrar; i.e., no serán expresables en términos de los grupos lineales bien conocidos. Después de estos primeros resultados no hubo mas progresos en estos problemas hasta los primeros años treintas (1930), cuando el tópico fue resucitado con la sugerencia de una modificación en su planteamiento:

Problema Restringido de Burnside (RBP): ¿Existen solo un número finito de grupos finitos con m generadores y exponente n?

Si el RBP tiene una solución positiva para algún m, n entonces podemos podemos hacer el cociente de B(m, n) por la intersección de todos los subgrupos de índice finito para obtener B0(m,n), el grupo finito de m generadores universal, de exponente n, y que tiene a cualquier otro grupo finito, de m generadores y exponente n, como imagen homomorfica. Notaremos que si B(m,n) es finito entonces B0(m,n) = B(m,n). Aunque esta formulación del problema circuló durante los años treinta, no apareció ningún artículo sobre esta formulación hasta 1940, por Grün. En realidad, el propio nombre de RBP no apareció hasta 1950 en un artículo de Magnus.

• En 1933, Levi, Van der Waerden (independientemente) mostraron que B(m, 3) tien orden 3c, c = m + mC2 + mC3 y es un grupo metaabelino de grado de nilpotencia 3.
• En 1940, Sanov probó que B(m, 4) es finito.
• En 1954, Tobin mostró que B(2, 4) tien orden 2^{12}, y dió una presentación.
• En 1955, Kostrikin estableció que B0(2, 5) existe.
• En 1956, Higman probó que B0(m, 5) existe. P Hall and G Higman mostraron que B0(m, 6) existe y tiene orden 2^a3^b, donde a = 1 + (m - 1)3^c , b = 1 + (m - 1)2^m , c = m + mC2 + mC3 y es por tanto resoluble de logitud derivada 3.
• En 1958, Marshall Hall Jr. probó que B(m, 6) es finito, una contribución que fue descrita como un "heróico ejemplo de cálculo".

Kostrikin mostró que B0(m, p) existe para todo p primo.

El artículo de Hall-Higman, de 1956, contiene un notable teorema de reducción para el RBP:

Theorem (Hall-Higman, 1956): Supongamos que n = p1^k1. ... .pr^kr with p1, ... , pr primos distintos. Supongamos además que:

• La RBP es cierta para grupos de exponentes pi^ki.
• Existen un número finito de grupos simples de exponente n.
• El grupo de automorfismos exteriores Out(G) = Aut(G)/Inn(G) es resoluble para cada grupo finito simple de exponente n.

Entonces la RBP es cierta para grupos exponente n.

Notaremos que la tercera hipótesis del anterior teorema es la conocida conjetura de Schreier. Ahora, después de terminada la clasificación de los grupos simple finitos en los años 1980, sabemos que las hipótesis ii) y iii) del teorema son ciertas. Incluso desde antes, el artículo de Feit-Thompson de 1962, se sabía que eran ciertas para los valores de n impar. Consecuentemente, para probar que B0(m,n) existe para todo m, n se necesitaba demostrar que B0(m, p^k) existe para todo m y toda potencia de primo p^k. Kostrikin ya había demostrado que B0(m, p) existía.

• En 1959, volviendo al planteamiento original del problema de Burnside, Novikov anunció que que B(m, n) es infinito para n impar, n > 71. Novikov publicó una colección de ideas y teoremas, pero no una solución definitiva. John Britton sospechó que la demostración de Novikov era errónea y comenzó a trabajar en este problema.
• En 1964, Golod y Shafarevich proporcionaron un contraejemplo al GBP. Un grupo infinito periódico y finitamente generado.
• En 1968, S. I. Adian, P. S. Novikov probaron que B(m, n) es infinito para n impar, n>4381 con una épica demostración combinatoria basada en los trabajos anteriores de Novikov. Esto fue un golpe par Britton que estaba a punto de publicar sus ideas. Finalmente su artículo se publicó en 1973, pero Adian le descubrió un eror al aplicar unas desigualdades simultaneamente. Britton nunca se recuperó.
• En 1975, S. I. Adian probó que B(m, n) es infinito para n impar, n > 665, mejorando el resultado de Adian-Novikov de 1968.
• En 1982, Ol'shanskii mostró que dado un primo p " 1075, entonces existe un grupo infinito, tal que cada subgrupo propio es cíclico de orden p. Este grupo es llamado el grupo monstruo de Tarski.
• En 1992, S. I. Ivanov probó que B(m, n) es infinito para m > 2 y n > 12.
• En 1994, Zelmanov consiguió una medalla Fields por su solución positiva a la RBP.

Todavía es una cuestión abierta si B(2, 5) es finito o no.