Efim I Zelmanov
Matemático (1955 Unión Soviética, actual Rusia)
Efim Zelmanov nació el 7 de septiembre de 1955 en la antigua Unión Soviética. Estudió en la universidad del Estado de Novosibirsk, actual Rusia, obteniendo la maestría en 1977. Inmediatamente, fue nombrado profesor de dicha universidad y allí continuó enseñando e investigando. Leyó su tesis doctoral en 1980 bajo la supervisión de Shirshov y Bokut. Su memoria de tesis versó sobre álgebras no asociativas. De hecho su trabajo cambió completamente la situación de las álgebras de Jordan, extendiendo resultados clásicos de álgebras de Jordan finito dimensionales a las infinito dimensionales. En 1983, Zelmanov expuso su trabajo sobre álgebras de Jordan, en el International Congress of Mathematicians de Varsovia.
En 1980, Zelmanov fue elegido joven investigador del Instituto de Matemáticas de la USSR, en la Academia de Ciencias de Novosibirsk. En 1985, presentó su tesis de habilitación y fue promovido como investigador de dicho centro. En 1986, se convirtió en Investigador Principal en dicho Instituto. En 1987, Zelmanov resolvió uno de las mas grandes cuestiones abiertas de la teoría de álgebras de Lie. Probó que la identidad de Engel ad(y)n = 0 implica que el álgebra es localmente nilpotente. Era un resultado clásico de álgebras de Lie, finito dimensionales, pero Zelmanov pudo probarlo para el caso de dimensión infinita.
En 1990, Zelmanov fue nombrado profesor de universidad de Wisconsin-Madison, en los Estados Unidos. Allí estuvo hasta 1994, cuando pasó a la universidad de Chicago. En 1995, pasó un año en la universidad de Yale. Los resultados conseguidos en álgebras de Jordan y álgebras de Lie le habían garantizado un lugar entre los los mas grandes algebrístas del siglo XX. Sin embargo, en 1991, Zelmanov resolvió la conjetura restringida de Burnside. En 1994, Zelmanov recibió la medalla Fields por ese trabajo en el International Congress of Mathematicians, celebrado en Zurich. Zelmanov, que no era por formación un investigador en teoría de grupos, logró resolver uno de los problemas mas importantes de esa teoría que llevaba planteado casi un siglo.
En 1902, Burnside se preguntó si un grupo finitamente generado con la propiedad de que cada elemento tenga orden finito, es él mísmo finito. Este problema es conocido como el problema general de Burnside. El problema de Burnside se puede formular si, dados d and n fijos, el grupo B(d, n) que tiene d generators y donde cada elemento tiene orden divisible por n (x^n = 1) es finito. Es fácil de probar que B(d, 2) es finito (en realidad hay sólo uno salvo isomorfía, es el producto directo C_2x..xC_2, d veces). El mismo Burnside demostró que B(d, 3) es finito, Sanov probó que B(d, 4) es finite y Marshall Hall mostró que B(d, 6) es finito. Hacia 1930, no se había producido ningún avance real en este problema y en una serie de seminarios Magnus planteó, por primera vez, el desde entonces llamado problema restringido de Burnside. Éste se preguntó si, dados d and n fijos, existía el grupo finito más grande con d generadores en el que cada elemento satisfaga que x^n = 1. Esto es equivalente a preguntar si todo grupo que satisfaga esas condiciones es cociente de uno fijo, el mayor de ellos llamado B0(d, n), y en particular hay un número finito de grupos finitos solución a la pregunta de Burnside.
Golod in 1964, demostró que el problema generalizado de Burnside tenía solución negativa. En 1968, Novikov y Adian mostraron que el problema de Burnside era falso para valores grandes de n. La más importante contribución a la solución positiva del problema restringido de Burnside fue aportada por Hall y Higman en 1956. Ellos mostraron que, si la conjetura de Schreier es cierta, entonces el problema restringido tiene una solución positiva si se pudiera probar para potencias de primos. La conjetura de Schreier, de que los grupos de automorfismo exteriores de los grupos simples finitos son resolubles, se demostró cierta como consecuencia de la terminación de la clasificación de los propios grupos simples finitos en 1981.
Magnus había reducido el n primo del problema restringido de Burnside a una pregunta acerca de si las álgebras de Lie que satisfacen una condición de Engel son localmente nilpotentes. Kostrikin, en 1959, intentó probar que de hecho esas álgebras son localmente nilpotentes. Sin embargo, la solución de Kostrikin no es totalmente satisfactoria y una versión corregida apareció mucho mas tarde. Cuando Zelmanov empezó a trabajar en el problema restringido de Burnside había dos dificultades al pasar del caso primo, n = p, a una potencia del primo, n = p^k. Primero si había o no reducción al problema de las álgebras de Lie con condición de Engel. Zelmanov lo consiguió en 1989. Después Zelmanov se centró en probar que un álgebra de Lie, con una condición de Engel, es localmente nilpotente. Lo hizo en dos artículos, en el primero trató con característica prima impar y en el segundo con el caso n = p^k que corresponde al caso de álgebras de Lie de característica 2.
Su sorprendente demostración combina una divertida capacidad técnica con ideas muy originales de varias disciplinas. Su demostración usa la estructura profunda de las álgebras (cuadráticas) de Jordan, préviamente desarrollada por McCrimmon y Zelmanov, así como otras potentes herramientas. También recae en el trabajo conjunto de Kostrikin y Zelmanov, que estableció la nilpotencia local de las así llamadas álgebras sandwich. Aunque la consideración de álgebras de Lie en el contexto del problema restringido de Burnside era clásico, el uso de las álgebras de Jordan era nuevo y sorprendente.
En la conferencia de Groups-St Andrews celebrada en Galway, Irlanda en 1993, Zelmanov fue uno de los principales conferenciantes, dió 5 charlas sobre los métodos de los anillos Nil, en la teoría de grupos nilpotentes. Sus charlas bien estructuradas, fueron modelo de claridad, presentando lo que había conseguido y también nuevas lineas de posible investigación. Además de la medalla Fields, Zelmanov ha conseguido la medalla del Collège de France en enero de 1992 y el Andre Aizenstadt Prize en mayo de 1996.