Definiciones modernas del concepto de grupo.

Definición I) : Un grupo G es un conjunto, con una ley de composición interna, de GxG en G, que asigna a cada par ordenado de elementos x, y de G, un único tercer elemento en G (usualmente llamado el producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres propiedades siguientes:

• Asociativa: para todo x,y,z en G, x(yz)=(xy)z.
• Existencia de neutro: existe un elemento e en G tal que ex=x=xe para todo x en G.
• Existencia de simétricos: para cada x en G, existe un y en G tal que xy=e=yx.

Observaremos que la definición anterior es redundante (o sea, que sobran algunas afirmaciones) y que tampoco es la mas corta ya que se puede dar con solo dos axiomas. Daremos a continuación otras definiciones equivalentes:

Definición II) : Un grupo G es un conjunto finito, con una ley de composición interna, de GxG en G, que asigna a cada par ordenado de elementos x, y de G, un único tercer elemento en G (usualmente llamado el producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres propiedades siguientes:

• Asociativa: para todo x,y,z en G, x(yz)=(xy)z.
• Existencia de cocientes por la derecha: Dados a,b en G, existe al menos un x en G tal que ax=b.
• Existencia de cocientes por la izquierda: Dados a,b en G, existe al menos un y en G tal que ya=b.

Definición III) : Un grupo G es un conjunto, con una ley de composición interna, de GxG en G, que asigna a cada par ordenado de elementos x, y de G, un único tercer elemento en G (usualmente llamado el producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres propiedades siguientes:

• Asociativa: para todo x,y,z en G, x(yz)=(xy)z.
• Existencia de neutro por la derecha: existe un elemento e en G tal que x=xe para todo x en G.
• Existencia de simétricos por la derecha: para cada x en G, existe un x' en G tal que xx'=e.

Definición IV) : Un grupo G es un conjunto, con una ley de composición interna, de GxG en G, que asigna a cada par ordenado de elementos x, y de G, un único tercer elemento en G (usualmente llamado el producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres propiedades siguientes:

• Asociativa: para todo x,y,z en G, x(yz)=(xy)z.
• Existencia de neutro por la izquierda: existe un elemento e en G tal que ex=x para todo x en G.
• Existencia de simétricos por la izquierda: para cada x en G, existe un x' en G tal que x'x=e.

Definición V) (grupo finito): Un grupo G es un conjunto finito, con una ley de composición interna, de GxG en G, que asigna a cada par ordenado de elementos x, y de G, un único tercer elemento en G (usualmente llamado el producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres propiedades siguientes:

• Asociativa: para todo x,y,z en G, x(yz)=(xy)z.
• Simplificativa por la derecha: Dados a,b,c en G, tales que ac=bc, entonces a=b.
• Simplificativa por la izquierda: Dados a,b,c en G, tales que ca=cb, entonces a=b.

Demotración:

• I) implica II) Si llamamos a' al inverso de a en G, es inmediato que los elementos x=a'b, y=ba'de G, satisfacen ax=b, ya=b como queríamos.
• II) implica III) Sea a un elemento de G, por la hipótesis, existe al menos un elemento e de G talque ae=a. Si ahora, x es un elemento cualquiera de G, existe también un q tal que x=qa, por lo que
  xe=(qa)e=q(ae)=qa=x Finalmente, como la existencia de simétricos por la derecha es un caso particular de la existencia de cocientes por la derecha, la implicación queda terminada.
• III) implica I) Por hipótesis, sea x' inverso por la derecha de x en G, xx'=e. Llamemos, y=x'x, entonces,
  yy=(x'x)(x'x)=(x'(xx'))x=(x'e)x=x'x=y o sea, y es idempotente. Por otro lado, también existe y' en G tal que yy'=e. Entonces,
  e=yy'=yyy'=y(yy')=ye=y=x'x y hemos demostrado que x' es inverso por ambos lados del elemento x arbitrario en G.
  Veamos que e es también neutro por el otro lado:
  ex=(xx')x=x(x'x)=xe=xcomo queríamos demostrar.

Siguiendo los mismos pasos, es muy fácil de demostrar la equivalencia de I),II) y IV). Finalmente,

• I) implica V) Si suponemos I) y que ac=bc, entonces
  a=ae=acc'=bcc'=be=by análogamente si ca=cb, entoncesa=ea=c'ca=c'cb=eb=bcomo queríamos demostrar.
• V) implica II) Si G es finito y se verifica V), tenemos que la aplicación homotecia, f_a(x)=ax, de G en G, es una biyección. Por tanto, Dados a,b en G, existe al menos un x en G tal que ax=b.
  Análogamente, la aplicación homotecia, g_a(x)=xa, de G en G, es una biyección, y dados a,b en G, existe al menos un y en G tal que ya=b.