Solución

La definición de los generadores infinitesimales $P$ y $J$ es como sigue

$$\delta A^\mu(x) = \left[ i\delta a_\alpha P^\alpha-\frac{i}{2}\delta\omega_{\alpha\beta} J^{\alpha\beta} \right]^\mu_{\ \nu}A^\nu(x) \,.$$ (1.69)

(Para cada $\alpha$ , $P^\alpha$ es una matriz, $(P^\alpha)^\mu_{\ \nu}$ , y lo mismo $J^{\alpha\beta}$ .)

Para obtener su forma explícita basta considerar una transformación infinitesimal de Poincaré

$$\delta a^\mu,\quad \Lambda^\mu_{\ \nu}=\eta^\mu_{\ \nu}+\delta\omega^\mu_{\ \nu}, \quad \delta\omega_{\mu\nu}= -\delta\omega_{\nu\mu}$$ (1.70)

donde $\delta a$ , $\delta\omega$ son infinitésimos de primer orden y $\eta_{\mu\nu}$ es la métrica de Minkowski. Desarrollando $A^{\prime\mu}(x)= A^\mu(x) +\delta A^\mu(x)$ y notando que $(\Lambda^{-1})^\mu_{\ \nu}=\delta^\mu_\nu-\delta\omega^\mu_{\ \nu}$ , se obtiene

$$\delta A^\mu(x) = \delta\omega^\mu_{\ \nu}A^\nu -(\delta a^\alpha + \delta\omega^\alpha_{\ \beta}x^\beta) \partial_\alpha A^\mu$$ (1.71)

$$= \left[-\eta^\mu_{\ \nu}(\delta a^\alpha + \delta\omega^\alpha_{\ \beta}x^\beta) \partial_\alpha+ \delta\omega^\mu_{\ \nu}\right]A^\nu(x)$$

$$= \left[-\eta^\mu_{\ \nu}(\delta a_\alpha \partial^\alpha +\frac{1}... ...\mu}\eta^\beta_{\ \nu} -\eta^{\beta\mu}\eta^\alpha_{\ \nu}) \right]A^\nu(x) \,.$$

Comparando con (), se deduce

$$(P^\alpha)^\mu_{\ \nu} = i\eta^\mu_{\ \nu} \partial^\alpha \,,$$

$$(J^{\alpha\beta})^\mu_{\ \nu} = -i\eta^\mu_{\ \nu}(x^\beta\partial^\alpha-x^\alpha\partial^\beta) +i(\eta^{\alpha\mu}\eta^\beta_{\ \nu} -\eta^{\beta\mu}\eta^\alpha_{\ \nu})$$

$$:= (L^{\alpha\beta})^\mu_{\ \nu} + (S^{\alpha\beta})^\mu_{\ \nu} \,.$$ (1.72)

$L$ es la parte orbital y $S$ el momento angular intrínseco que tiene en cuenta que $A^\mu$ es un cuadrivector Lorentz. El momento angular es $J^i=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}J^{jk}=L^i+S^i$ . Por tanto el espín corresponde a

$$(S^i)^\mu_{\ \nu}=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk} i(\eta^{j\mu}\eta^k_{\ \nu} -\eta^{k\mu}\eta^j_{\ \nu}) = i\epsilon_{ijk} \eta^{j\mu}\eta^k_{\ \nu} \,.$$ (1.73)

Separando componentes espaciales y temporales

$$(S^i)^0_{\ 0}=(S^i)^0_{\ j}= (S^i)^j_{\ 0}=0 \,, \qquad$$

$$(S^i)^m_{\ n} = i\epsilon_{ijk} (-\delta_{jm})\delta_{kn} = -i\epsilon_{imn} \,.$$ (1.74)

La primera ecuación indica que $\vec{S\nobreakspace{}}$ se anula sobre $A^0(x)$ . Este campo describe una partícula sin espín. En general para espín $S$ se tiene $\vec{S}^2=S(S+1)$ . Calculando $\vec{S}^2$ para $\vec{A}(x)$ :

$$(\vec{S}^2)^m_{\ n}=(S^i)^m_{\ \ell}(S^i)^\ell_{\ n} = -\epsilon_{im\ell}\epsilon_{i\ell n} =2\delta_{mn} \,,$$ (1.75)

se deduce que este campo tiene espín $S=1$ .