Solución

Si queremos que todas las componentes de $\vec Q$ se puedan medir simultáneamente (sean operadores compatibles) debemos imponer

$$[Q_i,Q_j]=0$$ (2.1)

esto requiere

$$0=[i\frac{\partial}{\partial p_i}+f_i(\vec{p}), i\frac{\partial}{\partial p_j}+f_j(\vec{p})] =i(\partial_i f_j-\partial_j f_i)$$ (2.2)

es decir $\nabla\times \vec f=0$ y $\vec{f\,}$ es un gradiente

$$\vec{f}(\vec{p})=\nabla_pF(\vec{p}) \,.$$ (2.3)

Invariancia bajo rotaciones requiere

$$\vec{f}(\vec p\,)= h(\vec{p}\,^2)\,{\vec p}\,.$$ (2.4)

Una función de este tipo siempre es un gradiente, con $F=F(p^2)$ y $h=2F^\prime$ , por tanto invariancia bajo rotaciones ya garantiza compatibilidad.

Como ${\vec p\,}$ es el generador de las traslaciones, para que $\vec Q$ responda correctamente a una traslación infinitesimal, debe cumplirse

$$-\delta \vec a= \delta_a\vec Q= -i[\delta\vec{a}{\vec p},\vec Q]$$ (2.5)

que requiere

$$[Q_i,p_j]= i\delta_{ij} \,.$$ (2.6)

Esto se cumple para toda $\vec{f}(\vec p)$ .

Respecto de la hermiticidad de $\vec Q$ , parecería que basta requerir que ${\vec f\,}$ sea real, pero esto no es así, ya que $i\nabla$ no es hermítico debido al término $E_p/m$ en el producto escalar. Este factor es necesario por invariancia relativista. Lo que hacemos es evaluar el adjunto de $\vec Q$

$$\langle \phi_1\vert\vec Q^\dagger\vert\phi_2\rangle = \langle \ph... ...e\phi_2(p) \left(-i{\vec\nabla}_p+{\vec f}^*({\vec p}) \right)\tilde\phi_1^*(p)$$ (2.7)

integrando por partes

$$\langle \phi_1\vert\vec Q^\dagger\vert\phi_2\rangle = \int\frac{d... ...nabla}_p+{\vec f}^*({\vec p})+i\frac{1}{E_p}\nabla_p E_p \right)\tilde\phi_2(p)$$ (2.8)

implica ( $E_p^2=m^2+\vec p\,^2$ )

$$\vec Q^\dagger=i{\vec\nabla}_p+{\vec f}^*({\vec p})+i\frac{\vec{p}}{E_p^2} \,.$$ (2.9)

Para que $\vec Q^\dagger=\vec Q$ la parte imaginaria de ${\vec f\,}$ debe cumplir

$$\vec f_I(\vec p)= \frac{\vec{p}}{2E_p^2} \,.$$ (2.10)

Este término, igual que el factor $E_p/m$ , se hace irrelevante en el límite no relativista $m\to\infty$ .

La parte real de ${\vec f\,}$ no queda fijada. Si se quiere que esta contribución sea local (un número finito de $\nabla_x$ ) $\vec f_R(\vec p)$ debe ser de la forma ${\vec p\,}$ por un polinomio en $\vec p\,^2/m^2$ (por dimensiones).

Como se ve la solución mínima es

$$\vec f(\vec p)= i\frac{\vec{p}}{2E_p^2} \,.$$ (2.11)

La solución $\vec f=0$ , equivalente a $\vec Q=\vec x$ en representación de posiciones, no es aceptable. Invariancia relativista implica una no localidad del orden de la longitud de onda Compton de la partícula.