Solución

La solución de la ecuación de Dirac en un campo central es del tipo (en la representación de Dirac de las gammas)

$$\psi_\kappa^\mu(\vec r)= \begin{pmatrix}iG(r)/r\chi_\kappa^\mu \cr F(r)/r\chi_{-\kappa}^\mu \end{pmatrix}$$ (2.13)

donde $\mu$ es el valor de $J_3$ y $\kappa=\mp(j+1/2)$ con $\ell=j\pm 1/2$ , siendo $\ell$ el momento angular orbital de la componente de arriba y $\chi_\kappa^\mu(\hat r)$ los correspondientes biespinores

$$\chi_\kappa^\mu(\hat r) = (\kappa)\sum_{m=\pm \frac{1}{2}}C(\ell,\frac{1}{2},j; \mu-m,m,\mu)Y_{\ell,\mu-m}(\hat r)\chi_{\frac{1}{2},m} \,.$$ (2.14)

La fase está elegida de modo que

$$\sigma\hat r\chi_\kappa^\mu(\hat r)=\chi_{-\kappa}^\mu(\hat r) \,.$$ (2.15)

Un cavidad confinante de radio $R$ implica

$$F(R)=-G(R) \,,$$ (2.16)

entonces

$$i\mathrel{\mathop{n\!\!\!/}}\psi\Big\vert _S = -i\hat{n}\vec{\gamma}\psi\Big\vert _S= \begin{pmatrix} 0 & -i\vec... ...u(\hat r)\cr F(r)/r \vec{\sigma}\hat{r} \chi_\kappa^\mu(\hat r) \end{pmatrix}_S$$

$$= \begin{pmatrix} -i F(R)/R \chi_\kappa^\mu(\hat n)\cr -G(R)/R \vec... ... \vec{\sigma}\hat{n} \chi_\kappa^\mu(\hat n) \end{pmatrix}=\psi\Big\vert _S \,.$$ (2.17)