Grupo SU(2)

El grupo SU(2) es el grupo formado por las matrices de rotación en el espacio de espın 1/2: son matrices $2\times 2$ unitarias de determinante 1. Su forma general es

$$U({\vec a})= a_0-i{\vec a}\vec\sigma\,, \quad \vert\vec{a}\vert\le 1 \,,\quad a_0=\pm\sqrt{1-{\vec a}^2}$$ (1.1)

donde $\vec\sigma$ son las matrices de Pauli y $\vec a$ son las tres coordenadas del grupo. Notar que $a_0$ es sólo una variable auxiliar (no una coordenada independiente).

(a)

Verificar que debe cumplirse la relación $a_0^2=1-{\vec a}^2$ . La identidad

$$\sigma_i\sigma_j= \delta_{ij}+i\epsilon_{ijk}\sigma_k$$ (1.2)

es útil.

(b)

Obtener la ley de composición del SU(2) en estas coordenadas. Es decir, si $U({\vec c})=U({\vec a})U({\vec b})$ obtener la función ${\vec c}= \vec f({\vec a},{\vec b})$ .

(c)

A partir del resultado obtenido ver si el grupo es abeliano.

(d)

Ver si las coordenadas ${\vec a}$ son normales.

(e)

Determinar la función $\vec h({\vec a})$ que proporciona las coordenadas del elemento inverso de $U({\vec a})$ .