Solución

(a) Hermiticidad. Usando $(\gamma^0)^2=1$ , la ecuación se puede escribir

$$i\partial_0\psi=H\psi$$ (2.19)

con hamiltoniano

$$H=-i\gamma^0\vec{\gamma}\vec{\nabla} +\gamma^0S +\gamma^0\gamma_5 P +\gamma^0\gamma^\mu V_\mu +\gamma^0\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu \,.$$ (2.20)

Usando las propiedades de hermiticidad de las gammas

$$\gamma_\mu^\dagger=\gamma_0\gamma_\mu\gamma_0=\gamma^\mu,\quad \gamma_5^\dagger=\gamma_5$$ (2.21)

así como

$$\gamma_5\gamma_\mu = -\gamma_\mu\gamma_5$$ (2.22)

se deduce inmediatamente que la hermiticidad del hamiltoniano, $H=H^\dagger$ , equivale a las siguientes condiciones

$$S=S^*,\quad P=-P^*,\quad V_\mu=V_\mu^*,\quad A_\mu=A_\mu^*,\quad$$ (2.23)

donde $^*$ indica complejo conjugado. Por ejemplo,

$$\gamma^0\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu = (\gamma^0\gamma^\mu\gamma_5 A_... ...ma^0\gamma^\mu\gamma^0\gamma^0 A_\mu^* =\gamma^0\gamma^\mu \gamma_5 A_\mu^* \,.$$ (2.24)

Si se define el operador de Dirac ${{{\boldsymbol{D}}}}=\gamma^0(i\partial_0-H)$ , de modo que la ecuación de Dirac () queda

$${{{\boldsymbol{D}}}}\psi=0\,,$$ (2.25)

la condición de hermiticidad puede escribirse como ${{\boldsymbol{D}}}^\dagger=\gamma^0{{\boldsymbol{D}}}\gamma^0$ .

(b) Invariancia bajo paridad (inversión espacial en tres dimensiones) requiere que si $\psi(x)$ es una solución de (), también lo sea su transformada bajo paridad $\psi^P(x):=\gamma^0\psi(x^P)$ , donde $x^P$ es el punto transformado por paridad de $x$ ,

$$x=(x^0,\vec{x})=(x^0,x^i),\quad x^P=(x^0,-\vec{x})= (x^0,-x^i)=(x_0,x_i) , \quad (x^P)^\mu=x_\mu \,.$$ (2.26)

Teniendo en cuenta las propiedades

$$\gamma_0\gamma_i=-\gamma_i\gamma_0 \,,\qquad \partial_\mu\psi^P(x)=\gamma^0(\partial^\mu\psi)(x^P) \,$$ (2.27)

se deduce inmediatamente que ${{\boldsymbol{D}}}\psi^P=0$ requiere

$$S(\vec{x}) = S(-\vec{x}),\quad P(\vec{x})=-P(-\vec{x}),\quad V^0(\vec{x})=V^0(-\vec{x}),\quad \vec{V}(\vec{x})=-\vec{V}(-\vec{x}),\quad$$

$$A^0(\vec{x}) = -A^0(-\vec{x}),\quad \vec{A}(\vec{x})=\vec{A}(-\vec{x}) \,.$$ (2.28)

Por ejemplo, si sólo hubiera campo axial,

$$= {{\boldsymbol{D}}}\psi^P$$ 0

$$= \big(i\gamma^\mu\partial_\mu -\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu(x) \big)\psi^P(x)$$

$$= i\gamma^\mu\gamma^0(\partial^\mu\psi)(x^P) -\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu(x) \gamma^0\psi(x^P)$$

$$= \gamma^0\big( i\gamma_\mu(\partial^\mu\psi)(x^P) +\gamma_\mu\gamma_5 A_\mu(x)\psi(x^P) \big)$$ (2.29)

es consecuencia de ${{\boldsymbol{D}}}\psi=0$ (es decir, $0= \big(i\gamma^\mu\partial_\mu -\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu(x) \big)\psi(x)$ ) si $A_\mu(x)=-A^\mu(x^P)$ .

(c) Invariancia bajo conjugación de carga requiere que si $\psi$ es una solución de (), también lo sea $\psi^c(x):=C\bar\psi^T(x)=C\gamma^0{}^*\psi^*(x)$ . $C$ es la matriz de conjugación de carga, satisface

$$C^{-1}\gamma^\mu C= -\gamma^0{}^*\gamma^\mu{}^*\gamma^0{}^*, \quad C^{-1}\gamma_5 C= +\gamma_5^* \,.$$ (2.30)

Ilustramos el método para con el campo axial:

$$= \big(i\gamma^\mu\partial_\mu -\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu \big)\psi$$ 0 (2.31)

$$= \big(-i\gamma^\mu{}^*\partial_\mu -\gamma^\mu{}^*\gamma_5^* A_\mu^* \big)\psi^*$$ 0 (2.32)

$$= \big(-i\gamma^0{}^*\gamma^\mu{}^*\gamma^0{}^*\partial_\mu +\gamma^0{}^*\gamma^\mu{}^* \gamma^0{}^*\gamma_5^* A_\mu^* \big)\gamma^0{}^*\psi^*$$ 0 (2.33)

$$= C^{-1}\big(+i\gamma^\mu\partial_\mu -\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu^* \big)C\gamma^0{}^*\psi^*$$ 0 (2.34)

$$= \big(+i\gamma^\mu\partial_\mu -\gamma^\mu\gamma_5 A_\mu^* \big)\psi^c$$ 0 (2.35)

implica ${{\boldsymbol{D}}}\psi^c=0$ cuando $A_\mu$ es real. Para los demás casos se encuentran las condiciones

$$S=+S^*,\quad P=-P^*,\quad V_\mu=-V_\mu^*,\quad A_\mu=+A_\mu^* \,.$$ (2.36)