Solución

La evolución de una distribución $P(x,t)$ para hacer un muestreo de una densidad de probabilidad $\rho(x)=e^{S(x)}$ obedece a la ecuación de Fokker-Planck

$$\partial_t P(x,t)= \partial_x\left(\partial_xP-(\partial_xS)P\right) \,.$$ (3.65)

En su versión hamiltoniana se usa la variable $\psi(x,t)$ definida por

$$P(x,t)=\psi(x,t)e^{S(x)/2}\,,$$ (3.66)

que obedece a una ecuación tipo Schrödinger (en tiempo imaginario)

$$-\partial_t \psi(x,t)= (-\partial_x^2+V(x))\psi(x,t)$$ (3.67)

con masa $m=1/2$ , $\hbar=1$ , y potencial equivalente

$$V(x)=\frac{1}{4}(\partial_xS)^2+\frac{1}{2}\partial_x^2S \,.$$ (3.68)

La solución general es de la forma

$$\psi(x,t)=\sum_{n=0}^\infty c_n\psi_n(x)e^{-E_nt}$$ (3.69)

($\psi_n(x)$ son modos propios fijos, por ejemplo normalizados, y $c_n$ coeficientes dependientes de las condiciones iniciales de la simulación). Se puede verificar que el espectro es no negativo y $E_0=0$ , correspondiendo a la solución de equilibrio $P=e^S$ .

En nuestro caso

$$S= -\alpha x^2/2 +\log N$$ (3.70)

y el potencial equivalente es

$$V(x)=\frac{1}{4}\alpha^2x^2-\frac{1}{2}\alpha \,.$$ (3.71)

Por tanto el hamiltoniano equivalente es el de un oscilador armónico con frecuencia angular $\omega=\alpha$ y origen de energías desplazado. Su espectro es

$$E_n=\omega(n+\frac{1}{2})+V(0)=\alpha n\,,\qquad n=0,1,2,\ldots$$ (3.72)

En general las condiciones iniciales serán tales que $c_1\not=0$ y el modo excitado (transitorio) más largo será $E_1=\alpha$ , correspondiendo a un tiempo Langevin de relajación $\tau=1/\alpha$ . Si la distribución inicial es par en $x\to -x$ , $c_1=0$ y $\tau=1/E_2$ . En la práctica, sea cual sea la distribución, lo razonable es simetrizarla ya que de este modo se eliminan los modos impares y el transitorio es más corto.