Cuantización estocástica

Para calcular un promedio Monte Carlo con $\rho(x)= Ne^{-\alpha x^2/2}$ ( $x\in{\mathbb{R}}$ ) se usa la ecuación de Langevin. Para ello se ponen en marcha una gran cantidad de caminantes con cierta distribución inicial $P(x,t=0)$ . Esta distribución $P(x,t)$ evoluciona de acuerdo con la ecuación de Fokker-Planck, y después de un transitorio se relaja (exponencialmente) a la distribución de equilibrio $\rho(x)$ . Se pide calcular la vida media del transitorio. Esto requiere estudiar los modos propios ( $P_n(x,t)\propto e^{-E_nt}=e^{-t/\tau_n}$ ) de la ecuación de Fokker-Planck (lo mejor es usar su versión hamiltoniana). Notar que $\rho(x)$ es el modo estacionario, $E_0=0$ ; el transitorio lo da el modo excitado de vida media más larga, $E_1$ .