Solución

Para que el método funcione es suficiente imponer que 1) todo punto $\vec x$ en el que $\rho(\vec x)$ no se anule tenga una probabilidad no nula de ser visitado, 2) normalización de la probabilidad

$$\int d^nx^\prime P(\vec{x}\to \vec{x}^\prime)=1$$ (3.57)

y 3) balance detallado

$$\rho(\vec{x}) P(\vec{x}\to \vec{x}^\prime)= \rho(\vec{x}^\prime) P(\vec{x}^\prime\to \vec{x})$$ (3.58)

La condición de balance detallado se satisface para la regla a). En efecto para este mecanismo $P(x\to x^\prime)=\delta(x- x^\prime)$ y

$$\rho(x) \delta(x - x^\prime)= \rho(x^\prime) \delta(x^\prime - x)$$ (3.59)

Para el mecanismo b) balance detallado requiere

$$\rho(\vec{x})P_1(\vec{x}\to\vec{x}^\prime)= N\rho(\vec{x})^{\alph... ...(\vec{x}^\prime\to\vec{x})= N\rho(\vec{x}^\prime)^{\alpha+1}\rho(\vec{x})^\beta$$ (3.60)

es decir

$$\beta=\alpha+1$$ (3.61)

Obviamente la condición de normalización ya se cumple para a) y se cumplirá para el mecanismo conjunto si se cumple también para b). En este caso normalización requiere

$$\int d^nx^\prime N\rho(\vec{x})^{\alpha}\rho(\vec{x}^\prime)^\beta =1$$ (3.62)

que sólo puede garantizarse si $\alpha=0$ :

$$\alpha=0\,,\quad \beta=1 \,,\quad N^{-1}=\int d^nx\rho(\vec x) \,.$$ (3.63)

Finalmente la condición 1) se cumplirá si $0\le p<1$ , ya que de otro modo el caminante no se movería del punto inicial. De hecho $p=0$ , correspondiente al mecanismo b) puro

$${\rm Prob}(\vec{x}_k\to\vec{x}_{k+1}) \propto \rho(\vec{x}_{k+1}) \,,$$ (3.64)

es lo más eficiente; a) no introduce sesgo en el resultado pero aumenta el número de pasos sin que se obtenga ningún beneficio. De entre todos los métodos markovianos, el método b) (denominado ``baño térmico'') es el más eficiente obteniendo un muestreo de la distribución $\rho(\vec x)$ .