Solución

El operador momento lineal $\vec P$ es un operador de un cuerpo (mide el momento total del sistema de muchas partículas). Para un operador de un cuerpo general, $h$ , en una base monoparticular ortonormal arbitraria, $\vert\alpha\rangle$ , el correspondiente operador en el espacio de Fok es

$$\hat h=\sum_{\alpha\beta}\langle\alpha\vert h\vert\beta\rangle a_\alpha^\dagger a_\beta \,.$$ (4.18)

Para el operador momento, usando directamente la base de posiciones y espín $\vert\vec x,\sigma\rangle$

$$\vec P = \int d^3xd^3y \sum_{\sigma\sigma^\prime} \langle \vec x,\sigma\ve... ...y,\sigma^\prime\rangle \Psi^\dagger_\sigma(\vec x) \Psi_{\sigma^\prime}(\vec y)$$

$$= \int d^3xd^3y \langle \vec x\vert\vec P\vert\vec y\rangle \sum_{\sigma} \Psi^\dagger_\sigma(\vec x) \Psi_{\sigma}(\vec y)$$

$$= \int d^3xd^3y \langle \vec x\vert\vec P\vert\vec y\rangle \Psi^\dagger(\vec x) \Psi(\vec y) \,.$$ (4.19)

En la última ecuación $\Psi$ denota un biespinor (matriz columna de dimensión 2) y $\Psi^\dagger$ su adjunto (matriz fila).

Como es sabido, para un estado monoparticular $\vert\psi\rangle$ cualquiera

$$\langle \vec x\vert\vec P\vert\psi\rangle= -i\hbar\nabla_x \langle \vec x\vert\psi\rangle \,.$$ (4.20)

Teniendo en cuenta

$$\langle\vec x\vert\vec y\rangle =\delta(\vec x-\vec y)$$ (4.21)

se deduce

$$\langle \vec x\vert\vec P\vert\vec y\rangle= -i\hbar\nabla_x \delta(\vec x-\vec y) = i\hbar\nabla_y \delta(\vec x-\vec y) \,.$$ (4.22)

Entonces

$$\vec P =i\hbar\int d^3xd^3y \nabla_y \delta(\vec x-\vec y) \Psi^\dagger(\vec x) \Psi(\vec y) \,.$$ (4.23)

Integrando por partes y usando la delta de Dirac para eliminar una variable, se obtiene finalmente

$$\vec P =\int d^3x \Psi^\dagger(\vec x) (-i\hbar\nabla)\Psi(\vec x) \,.$$ (4.24)

Bajo una transformación infinitesimal de simetría $U=1-i\delta G$ , los observables se transforman de acuerdo con

$$\delta A= -i[\delta G,A]$$ (4.25)

Si $\delta G= \hbar^{-1}\delta \vec a\cdot\vec P$ , denotando $\delta \vec a$ una traslación inifinitesimal, la variación del operador campo será

$$\delta_a \Psi(\vec x)=-i \hbar^{-1}\delta\vec a[\vec P,\Psi(\vec x)]$$ (4.26)

$$[\vec P,\Psi_\sigma(\vec x)] =\int d^3y [\Psi^\dagger(\vec y) (-i\hbar\nabla_y)\Psi(\vec y),\Psi_\sigma(\vec x)]$$ (4.27)

Usando la identidad

$$[AB,C]=A\{B,C\}-\{A,C\}B$$ (4.28)

y las relaciones de conmutación

$$\{\Psi_\sigma(\vec x),\Psi_{\sigma^\prime}(\vec y)\}=0 \,, \qquad... ...r_{\sigma^\prime}(\vec y)\}= \delta(\vec x-\vec y) \delta_{\sigma\sigma^\prime}$$ (4.29)

se deduce

$$[\vec P,\Psi_\sigma(\vec x)] =\int d^3y \delta(\vec x-\vec y) (i\hbar\nabla_y)\Psi_\sigma(\vec y) =i\hbar\nabla\Psi_\sigma(\vec x)$$ (4.30)

De donde

$$\delta_a \Psi(\vec x)=\delta\vec a\cdot\nabla\Psi(\vec x)$$ (4.31)

que, en efecto, corresponde a una traslación infinitesimal $\Psi(\vec x+\vec a)=\Psi(\vec x)+\delta\vec a\cdot\nabla\Psi(\vec x)$ .