Estados coherentes

Demostrar la relación de cierre para estados coherentes bosónicos

$$1 = \int \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \prod_\alpha e^{-\phi_\alpha^*\phi_\alpha} \frac{d\phi_\alpha^* d\phi_\alpha}{2\pi i} \,.$$ (4.32)

$1$ es el operador identidad en el espacio de Fok bosónico y $d\phi^*_\alpha d\phi_\alpha := 2i\,d x_\alpha\, dy_\alpha$ con $x_\alpha= {\rm Re}\,\phi_\alpha$ e $y_\alpha={\rm Im}\,\phi_\alpha$ .

Se sugiere reducir la igualdad a la relación de cierre en la base de números de ocupación:

$$1 = \sum_{\{ n_\alpha\}} \vert(n_1,\ldots,n_\alpha,\ldots)\rangle \langle(n_1,\ldots,n_\alpha,\ldots)\vert \,,$$ (4.33)

haciendo las integrales sobre cada plano complejo $\phi_\alpha$ en polares.