Variables de Grassmann

La integral usual (bosónica) es invariante bajo traslaciones del integrando

$$\int dx f(x)=\int dx f(x+y)$$ (4.43)

(se supone que no hay términos de superficie). Mostrar que la integral de Grassmann satisface la misma propiedad. Para ello sean $\xi_i$ , $i=1,\ldots,n$ y $\eta_j$ , $j=1,\ldots,m$ los generadores del álgebra. El elemento más general es una función del tipo $f(\xi,\eta)$ , y consideramos la integral

$$I(\eta)= \int d\xi_1\cdots d\xi_n f(\xi,\eta) \,.$$ (4.44)

Ahora consideramos una traslación $\xi_i\to\xi_i+A_{ij}\eta_j$ , donde $A_{ij}$ es una matriz compleja, verificar que

$$I(\eta)= \int d\xi_1\cdots d\xi_n f(\xi+A\eta,\eta) \,.$$ (4.45)

Usar este resultado para demostrar la propiedad de la delta de Grassman

$$\int d\xi^\prime_n\cdots d\xi'_1 \delta(\xi-\xi^\prime)f(\xi^\prime)= f(\xi)$$ (4.46)

donde

$$\delta(\xi-\xi^\prime):= \int d\eta_1\cdots d\eta_n e^{-\sum_{i=1}^n \eta_i(\xi_i-\xi^\prime_i)} \,.$$ (4.47)

(También puede demostrarse sin usar la propiedad de traslación.)