Solución

(a) Hay que probar que

$$I(\eta):= \int d\xi_1\cdots d\xi_n f(\xi+A\eta,\eta)$$ (4.48)

en realidad no depende de $A$ . Como toda función es suma de funciones separables, por linealidad basta verficarlo para funciones del tipo $f(\xi,\eta)= g(\xi)h(\eta)$ , es decir, es suficiente probarlo para

$$I(\eta)= \int d\xi_1\cdots d\xi_n \, g(\xi+\eta^\prime)\,,\qquad \eta^\prime_i:=A_{ij}\eta_j \,.$$ (4.49)

Teniendo en cuenta las reglas de integración de Grassman

$$\int d\xi =0\,,\qquad \int d\xi \xi=1$$ (4.50)

se sigue que la única integral $\int d\xi_1\cdots d\xi_n(~)$ no nula es cuando cada variable de Grassman integrada aparece exactamente una vez en el integrando. La función $g(\xi)$ es un polinomio de $\xi_i$ de grado a lo sumo $n$ . En los términos del polinomio con grado menor que $n$ debe faltar alguno de los $\xi_i$ luego no contribuyen. La única contribución no nula es del tipo

$$\int d\xi_1\cdots d\xi_n \, (\xi_1+\eta^\prime_1)\cdots(\xi_n+\eta^\prime_n)$$ (4.51)

Pero es evidente que al desarrollar los productos, los términos que contengan algún factor $\eta^\prime_j$ se anularán ya que faltará el correspondiente $\xi_j$ . Sólo el término

$$\int d\xi_1\cdots d\xi_n \, \xi_1\cdots\xi_n$$ (4.52)

es no nulo y esta integral no depende de $\eta^\prime$ o $A_{ij}$ . (Nótese que $\xi_i$ y $\eta_j$ son variables distintas, igual que en una traslación en variables conmutativas usuales.)

(b) Sea

$$I(\xi)= \int d\xi^\prime_n\cdots d\xi'_1 \delta(\xi-\xi^\prime)f(\xi^\prime) \,.$$ (4.53)

Haciendo una traslación

$$I(\xi)= \int d\xi^\prime_n\cdots d\xi^\prime_1 \, \delta(-\xi^\prime)\,f(\xi^\prime+\xi)$$ (4.54)

y usando al definición de la delta

$$I(\xi)= \int d\xi^\prime_n\cdots d\xi'_1 d\eta_1\cdots d\eta_n e^{\sum_{i=1}^n \eta_i\xi^\prime_i} \, f(\xi^\prime+\xi) \,.$$ (4.55)

Como $\eta_i\xi^\prime_i$ es par en Grassman podemos reordenar

$$I(\xi)= \int d\xi^\prime_n\cdots d\xi'_1 \left(\prod_{i=1}^n \int d\eta_i e^{\eta_i\xi^\prime_i} \right) \, f(\xi^\prime+\xi)$$ (4.56)

y hacer las integrales en $\eta_i$ usando

$$\int d\eta e^{\eta\xi^\prime}= \int d\eta (1+\eta\xi^\prime)=\xi^\prime$$ (4.57)

es decir,

$$I(\xi)= \int d\xi^\prime_n\cdots d\xi'_1 \xi^\prime_1\cdots \xi_n... ...= \int d\xi'_1 \xi^\prime_1 \cdots d\xi'_n \xi^\prime_n \,f(\xi^\prime+\xi) \,.$$ (4.58)

Notando que cada variable integrada $\xi^\prime_i$ ya aparece una vez explícitamente y no puede aparecer más (al desarrollar $f(\xi^\prime+\xi)$ )

$$I(\xi) = \int d\xi'_1 \xi^\prime_1 \cdots d\xi'_n \xi^\prime_n \,f(\xi) = f(\xi) \,.$$ (4.59)