Solución

Desarrollando en serie

$$(1+\xi_1\xi_1^*\xi_2\xi_2^* a_1a_2 )^{1/2} = 1+\frac{1}{2}\xi_1\xi_1^*\xi_2\xi_2^* a_1a_2 \,.$$ (4.61)

Los términos de orden superior se anulan idénticamente ya que contendrán más de un $a_1$ y $a_1^2=0$ por el principio de exclusión.

$$I= \left(\int d\xi_1 d\xi_1^*\right) a^\dagger_1a^\dagger_2\vert\... ...i_1^* \xi_1\xi_1^*\right)\xi_2\xi_2^* a_1a_2 a^\dagger_1a^\dagger_2\vert\rangle$$ (4.62)

La primera integral se anula por las reglas

$$\int d\xi=0 \,,\qquad \int d\xi\xi=1 \,.\qquad$$ (4.63)

Para la segunda integral

$$\int d\xi_1 d\xi_1^* \xi_1\xi_1^* = -\int d\xi_1 \xi_1\int d\xi_1^*\xi_1^*=-1$$ (4.64)

$$I= -\frac{1}{2}\xi_2\xi_2^* a_1a_2 a^\dagger_1a^\dagger_2\vert\rangle$$ (4.65)

Finalmente, usando las relaciones de conmutacion (o más eficientemente con el teorema de Wick)

$$a_1a_2 a^\dagger_1a^\dagger_2\vert\rangle = -a_1 a^\dagger_1 a_2a... ...agger_2 a_2+1)\vert\rangle = -(-a^\dagger_1 a_1 +1)\vert\rangle = -\vert\rangle$$ (4.66)

se obtiene

$$I= \frac{1}{2}\xi_2\xi_2^*\vert\rangle$$ (4.67)