Susceptibilidad de un observable respecto a otro

Un sistema en equilibrio térmico se perturba con una interacción $\hat H_I(t)= J(t) \hat{\cal O}_1$ , donde $\hat{\cal O}_1$ es un operador y $J(t)$ es un c-número (que mide la intensidad de la perturbación). Demuéstrese que la susceptibilidad de un observable $\hat{\cal O}_2$ a esta perturbación se puede expresar como

$$\chi_{\hat {\cal O}_2,\hat {\cal O}_1} (t_2,t_1):= \frac{\delta\l... ...t_2-t_1)\big\langle[\hat{\cal O}^H_2(t_2),\hat{\cal O}^H_1(t_1)]\big\rangle \,.$$ (4.68)

$\langle \hat A\rangle$ denota el promedio térmico de $\hat A$ , $\langle \hat {\cal O}_2(t_2)\rangle^J$ es el valor esperado de $\hat{\cal O}_2$ en tiempo $t_2$ en presencia de la perturbación $J(t)$ , $\hat A^H(t)$ es $\hat A$ en imagen de Heinserberg, $\theta(x)$ es la función paso y $\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$ es la derivada funcional del funcional $F[\phi]$ respecto $\phi$ en $x$ (de modo que bajo una variación infinitesimal $\phi(x)\to \phi(x)+\delta\phi(x)$ , $\delta F[\phi]= \int dx \delta\phi(x)\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$ , por definición de $\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)}$ .)