Solución

El hamiltoniano perturbado es

$$\hat H^J(t)= \hat H+ J(t) \hat {\cal O}_1$$ (4.69)

donde $\hat H$ es indendiente del tiempo. La perturbación empieza en cierto tiempo $T$ que al final podemos llevar a $-\infty$ sin pérdida de generalidad:

$$J(t)=0 \,,\qquad \hat H^J(t) =\hat H\,, \quad t<T \,.$$ (4.70)

$$\langle \hat{\cal O}_2(t_2)\rangle^J = \sum_n p_n \langle n\vert U^J(T,t_2) \hat{\cal O}_2U^J(t_2,T)\vert n\rangle$$

$$= \langle U^J(T,t_2) \hat{\cal O}_2U^J(t_2,T)\rangle \,.$$ (4.71)

Aquí $\hat H\vert n\rangle=E_n\vert n\rangle$ de modo que la evolución anterior es decir, usar un $T_0<T$ en vez de $T$ , no cambiaría el valor esperado. Sólo es esencial usar el mismo $T_0$ en ambos operadores de evolución.

Para obtener la susceptibilidad basta tomar $\delta J(t)$ infinitesimal y calcular $\delta\langle \hat{\cal O}_2(t_2)\rangle$ .

$$U(t_1,t_2)=e^{-i(t_1-t_2)\hat H} \,, \qquad U^{\delta J}=U+\delta U \qquad (\hbar=1) \,.$$ (4.72)

En términos de $\delta U$

$$\delta \langle \hat{\cal O}_2(t_2)\rangle= \langle \delta U(T,t_2... ...t{\cal O}_2U(t_2,T) + U(T,t_2) \hat{\cal O}_2\delta U(t_2,T)\rangle \rangle \,.$$ (4.73)

Necesitamos calcular $\delta U$ :

$$U^J(t_a,t_b)= Te^{-i\int_{t_b}^{t_a}dt \hat H^J(t)} \,,\qquad (t_a>t_b)$$ (4.74)

$T$ es operador de ordenación temporal y los operadores conmutan bajo $T$ (el hamiltoniano y los observables son pares en Grassman) de modo que se pueden calcular variaciones como si trabajáramos con $c$ -números

$$\delta U(t_a,t_b) = T \left( e^{-i\int_{t_b}^{t_a}dt \hat H(t)}(-i)\int_{t_b}^{t_a} dt \delta J(t)\hat{\cal O}_1 dt\right)$$

$$= -i\int_{t_b}^{t_a} dt \delta J(t) U(t_a,t)\hat{\cal O}_1 U(t,t_b) \,.$$ (4.75)

Exactamente la mismá fórmula es válida cuando $t_a<t_b$ . (Se puede ver tomando adjuntos o repitiendo el cálculo usando $T^\prime$ , el operador anti-cronológico.)

$$\delta \langle \hat{\cal O}_2(t_2)\rangle = -i\Big\langle \int_{t_2}^T dt \delta J(t) U(T,t)\hat{\cal O}_1 U(t,t_2) \hat{\cal O}_2U(t_2,T)$$

$$+ \int_T^{t_2} dt \delta J(t) U(T,t_2)\hat{\cal O}_2 U(t_2,t) \hat{\cal O}_1 U(t,T) \Big\rangle$$

$$= -i \int_T^{t_2} dt \delta J(t) \langle -\hat{\cal O}^H_1(t) \hat{\cal O}^H_2(t_2) + \hat{\cal O}^H_2(t_2) \hat{\cal O}^H_1(t) \rangle$$

$$= -i \int dt_1\theta(t_2-t_1) \delta J(t_1) \langle [\hat{\cal O}^H_2(t_2), \hat{\cal O}^H_1(t_1)] \rangle$$ (4.76)

es decir

$$\chi_{{\cal O}_2,{\cal O}_1}(t_2,t_1) = -i \theta(t_2-t_1) \langle [\hat{\cal O}^H_2(t_2), \hat{\cal O}^H_1(t_1)] \rangle \,.$$ (4.77)

Nótese que del promedio térmico lo único que realmente se ha usado es que sea estacionario, $[\hat\rho,\hat H]=0$ .