Función de partición

Un sistema de bosones con un solo orbital tiene hamiltoniano

$$\hat H= \epsilon\, a^\dagger a + \lambda\, {a^\dagger}^2 a^2 \,.$$ (4.78)

(a)

Calcúlese la función de partición exacta del sistema.

(b)

Calcúlese el propagador (función de Green térmica de dos puntos) exacto.

(c)

Calcúlese la primera correción perturbativa al potencial termodinámico usando diagramas de Feynman y comparar con el mismo cálculo partiendo del resultado exacto.

Las magnitudes pedidas se consideran ``calculadas'' cuando quedan expresadas en términos de la función (una función de Jacobi)

$$\theta(x,y):= \sum_{n=0}^\infty e^{-y(n+x)^2} \,, \quad y>0$$ (4.79)

y sus derivadas respecto de $x$ .