Solución

(a) Función de partición.

El hamiltoniano conserva el número de partículas y diagonaliza en la base de números de ocupación $\vert n\rangle$ . Se puede escribir en función del operador número

$$a^\dagger{}^2a^2=a^\dagger(a a^\dagger-1)a=\hat{N}^2-\hat N=\hat{N}(\hat N-1) \,.$$ (4.80)

(El mismo resultado puede obtenerse calculando $a^\dagger{}^2a^2\vert n\rangle$ .)

$$\hat H= (\epsilon-\lambda)\hat{N}+\lambda \hat{N}^2 = \lambda \le... ...epsilon-\lambda}{2\lambda}\right)^2 - \frac{(\epsilon-\lambda)^2}{4\lambda} \,.$$ (4.81)

Si se usa la colectividad macrocanónica $\hat{H}\to \hat{H}-\mu \hat{N}$ equivale a $\epsilon \to \epsilon-\mu$ . Reabsorbo el potencial químico $\mu$ en $\epsilon$ y no lo pongo explícitamente en lo que sigue. Por conveniencia defino las variables adimensionales

$$\alpha= \frac{\epsilon-\lambda}{2\lambda} \,,\quad \gamma=\beta \lambda \,\qquad (\beta=\frac{1}{T}) \,,$$ (4.82)

entonces

$$\hat H\vert n\rangle= E_n\vert n\rangle\,,\qquad E_n=\lambda((n+\alpha)^2-\alpha^2)=\lambda n(n+2\alpha)\vert n\rangle \,,$$ (4.83)

$$Z={\rm Tr}\,e^{-\beta\hat H} = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n } ... ...{-\gamma ((n+\alpha)^2-\alpha^2)} = e^{\gamma\alpha^2}\theta(\alpha,\gamma) \,.$$ (4.84)

(b) Propagador.

$$g(\tau) = \langle Ta^H(\tau)a^\dagger{}^H(0)\rangle = \frac{1}{Z} {\rm Tr}(e^{-(\beta-\tau)\hat H}a e^{-\tau\hat H} a^\dagger) \,.$$ (4.85)

Trabajemos el numerador

$${\rm Tr}(e^{-(\beta-\tau)\hat H}a e^{-\tau\hat H} a^\dagger) = \sum_{n=0}^\infty \langle n\vert e^{-(\beta-\tau)\hat H}a e^{-\tau\hat H} a^\dagger\vert n\rangle$$

$$= \sum_{n=0}^\infty e^{-(\beta-\tau)E_n}\sqrt{n+1} e^{-\tau E_{n+1}} \sqrt{n+1}$$

$$= \sum_{n=0}^\infty (n+1) e^{-\beta E_n-\tau (E_{n+1}-E_n)} \,.$$ (4.86)

Para usar la función de Jacobi completamos cuadrados:

$$E_{n+1}-E_n= \lambda (2(n+\alpha)+1) \,,$$ (4.87)

$$\beta E_n+\tau (E_{n+1}-E_n)= \gamma(n+\alpha)^2 -\gamma\alpha^2 ... ...da (2(n+\alpha)+1) = \gamma (n+\alpha_\tau)^2 -\gamma(\alpha^2-\delta+\delta^2)$$ (4.88)

donde hemos definido

$$\delta=\frac{\tau\lambda}{\gamma} \,,\quad \alpha_\tau=\alpha+\delta \,.$$ (4.89)

Así

$${\rm Tr}(e^{-(\beta-\tau)\hat H}a e^{-\tau\hat H} a^\dagger) = e^... ...\alpha^2-\delta+\delta^2)} \sum_{n=0}^\infty (n+1)e^{-\gamma (n+\alpha_\tau)^2}$$ (4.90)

Las sumas del tipo

$$\theta_k(x,y):=\sum_{n=0}^\infty n^k e^{-y(n+x)^2}$$ (4.91)

se obtienen derivando $\theta(x,y)$ en $x$ . En nuestro caso

$$\theta^\prime(x,y):=\frac{d\theta(x,y)}{dx}= \sum_{n=0}^\infty (-2y) (n+x) e^{-y(n+x)^2} = -2xy\theta_0(x,y)-2y\theta_1(x,y)$$ (4.92)

o sea

$$\theta_1(x,y)= -x\theta-\frac{1}{2y}\theta^\prime \,.$$ (4.93)

Usando la expressión de $Z$ ya obtenida, resulta finalmente

$$g(\tau)= e^{-\gamma\delta(1-\delta)}\theta(\alpha,\gamma)^{-1} \l... ...pha_\tau,\gamma) -\frac{1}{2\gamma}\theta^\prime(\alpha_\tau,\gamma)\right) \,.$$ (4.94)

(c) Cálculo perturbativo.

Para un hamiltoniano del tipo

$$\hat H= \sum_\alpha \epsilon_\alpha a^\dagger_\alpha a_\alpha + \... ...\alpha\beta\gamma\delta} a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta a_\delta a_\gamma \,,$$ (4.95)

la primera corrección al potencial termodinámico corresponde a los diagramas

$$\Omega_1=\frac{1}{2}\sum_\alpha(v_{\alpha\beta\alpha\beta}+ v_{\alpha\beta\beta\alpha})n_\alpha n_\beta$$ (4.96)

siendo $n_\alpha$ el valor esperado del número de ocupación en la teoría libre.

En nuestro caso

$$\epsilon_\alpha=\epsilon \,, \qquad v_{\alpha\beta\gamma\delta}= 2\lambda \,,\quad \alpha=\beta=\gamma=\delta= 1 \,,$$ (4.97)

$$n_\alpha= (e^{\beta(\epsilon_\alpha-\mu)}-1)^{-1}= (e^{\beta\epsilon}-1)^{-1} := \bar n \,.$$ (4.98)

Para el potencial termodinámico se obtiene

$$\Omega_1=2\lambda \bar n^2 \,.$$ (4.99)

Por otro lado, partiendo del cáculo exacto

$$\Omega=\sum_{n=0}^\infty\Omega_n \,,\quad \Omega_n \propto \lambda^n\,, Z,Z_n\,.$$ (4.100)

$$\Omega= -\frac{1}{\beta}\log Z = -\frac{1}{\beta}\log Z_0(1+\frac{Z_1}{Z_0}+\cdots) \,,\qquad \Omega_1= -\frac{1}{\beta}\frac{Z_1}{Z_0}$$ (4.101)

$$Z= \sum_{n=0}^\infty e^{-\gamma ((n+\alpha)^2-\alpha^2)} = \sum_{... ... \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta \epsilon n} (1-\gamma n(n-1) +{\cal O}(\lambda^2))$$ (4.102)

que implica

$$Z_0 = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta \epsilon n} = (1-e^{-\beta\epsilon})^{-1} \,,$$

$$Z_1 = -\gamma\sum_{n=0}^\infty n(n-1) e^{-\beta \epsilon n} = - \gamma\... ...frac{d}{d(\beta\epsilon)}\right) \left(-\frac{d}{d(\beta\epsilon)}-1\right) Z_0$$

$$= -2\gamma e^{-2\beta\epsilon}Z_0^3 \,.$$ (4.103)

De aquí

$$\Omega_1= 2\lambda e^{-2\beta\epsilon}Z_0^2= 2\lambda \bar n^2 \,.$$ (4.104)