Solución

a) El propagador es

$$\langle\phi^a\phi^b\rangle = \frac{1}{Z}\int D\phi\, e^{S[\phi]}\phi^a\phi^b$$ (4.105)

El denominador $Z$ elimina las contribuciones de vacío (subdiagramas totalmente disconexos). Como el diagrama de la figura es de segundo orden, proviene de desarrollar en serie $e^S$ , en el numerador, hasta segundo orden en $g$

$$\frac{\int D\phi\, e^{\frac{1}{2}m_{ij}\phi^i\phi^j} \frac{1}{2!}... ...hi^6\right) \phi^a\phi^b}{ \int D\phi\, e^{\frac{1}{2}m_{ij}\phi^i\phi^j} } \,.$$ (4.106)

Por el teorema de Wick, hemos de sumar sobre contracciones de los 8 campos $\phi^1\phi^2\phi^3\phi^4\phi^5\phi^6\phi^a\phi^b$ . La contracción de dos campos es el propagador de la teoría libre

$$\langle\phi^a\phi^b\rangle_0 = \frac{\int D\phi\, e^{\frac{1}{2}m... ...\int D\phi\, e^{\frac{1}{2}m_{ij}\phi^i\phi^j} } = -(m^{-1})^{ab} := s^{ab} \,.$$ (4.107)

El diagrama procede de las contracciones de tipo $\{\langle a1\rangle, \langle b6\rangle, \langle 24\rangle, \langle 35\rangle\}$ , y de éstas hay $6\times 3\times 2=3!^2$ posibilidades, todas ellas dando lugar a la misma topología. La contribución es, por tanto (fig.1$a$ )

$$\langle\phi^a\phi^b\rangle_{\text{diagrama}} = 3!^2\frac{1}{2!}\f... ... s^{a1}s^{b6}s^{24}s^{35} =\frac{1}{2} g_{123} g_{456} s^{a1}s^{24}s^{35}s^{6b}$$ (4.108)

Figura:

b) Los diagramas conexos de $Z$ (es decir, sin patas externas) son los de la figura 2

Figura:

Los factores de simetría son, respectivamente, $4!$ (los cuatro vértices son equivalentes), $2^4$ , $2^3$ , $2^33!$ y $2^4$ (nótese que las líneas son no orientadas). Una aplicación de las reglas de Feynman para el diagrama (a) produce ( $s^{ij}=s^i\delta_{ij}$ por $m_{ij}$ diagonal) (fig. 1$b$ )

$$\frac{1}{4!}g_{123}g_{156}g_{246}g_{345}s^1s^2s^3s^4s^5s^6$$ (4.109)