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1.1 Aproximación semiclásica. Ecuación de Hamilton-Jacobi.

Partimos de la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa $m$ en un potencial $V$

$$i\hbar\partial_t\psi({{\boldsymbol{x}}},t)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V({{\boldsymbol{x}}},t)\right)\psi({{\boldsymbol{x}}},t) \,.$$ (1.1)

Con el fin de estudiar el límite clásico hacemos el cambio de variable no lineal

$$\psi({{\boldsymbol{x}}},t)= e^{i\phi({{{\boldsymbol{x}}}},t)/\hbar}$$ (1.2)

que da lugar a la ecuación equivalente

$$0=\partial_t\phi + \frac{1}{2m}(\nabla\phi)^2 + V -\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2\phi \,.$$ (1.3)

Tomando ahora el límite clásico formal $\hbar\rightarrow 0$ se obtiene la ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica hamiltoniana

$$0=\partial_t\phi + \frac{1}{2m}(\nabla\phi)^2 + V \,.$$ (1.4)

Como es sabido esta ecuación admite como solución la llamada función principal de Hamilton

$$\phi({{\boldsymbol{x}}},t)=W_{\rm cl}({{\boldsymbol{x}}},t;{{\boldsymbol{x}}}_0,t_0)+C \,,$$ (1.5)

donde $C$ es una constante arbitraria (respecto de $({{\boldsymbol{x}}},t)$) y $W_{\rm cl}({{\boldsymbol{x}}},t;{{\boldsymbol{x}}}_0,t_0)$ es la acción calculada sobre la trayectoria solución de las ecuaciones de movimiento con la condiciones de contorno $({{\boldsymbol{x}}},t;{{\boldsymbol{x}}}_0,t_0)$, denominada solución clásica, ${{\boldsymbol{x}}}_{\rm cl}(t)$,

$$W_{\rm {cl}}({{\boldsymbol{x}}},t;{{\boldsymbol{x}}}_0,t_0)= \int... ...{\boldsymbol{x}}}},t} dt^\prime \, L({{\boldsymbol{x}}}_{\rm cl}(t^\prime)) \,.$$ (1.6)

Esto nos indica que, en el límite semiclásico extremo, es válida la aproximación

$$\psi({{\boldsymbol{x}}},t)\approx e^{i W_{\rm cl}({{{\boldsymbol{x}}}},t;{{{\boldsymbol{x}}}}_0,t_0)/\hbar} \psi({{\boldsymbol{x}}}_0,t_0) \,.$$ (1.7)

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