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1.2 Operador de evolución y propagador.

El análisis de Feynman deriva una versión exacta de la fórmula (1.7). Para ello se introduce el propagador

$$\langle {{\boldsymbol{x}}}_f,t_f\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\ran... ...}}}_f\vert U(t_f,t_i)\vert{{\boldsymbol{x}}}_i\rangle \,, \qquad t_i\le t_f \,,$$ (1.8)

donde $U$ denota el operador de evolución

$$U(t_f,t_i)= T e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_i}^{t_f}H(t^\prime)dt^\prime} \,, \qquad t_i\le t_f \,,$$ (1.9)

que para hamiltonianos $H$ conservativos se simplifica a

$$U(t_f,t_i)= U(t_f-t_i)= e^{-\frac{i}{\hbar} (t_f-t_i) H} \,.$$ (1.10)

El propagador satisface la propiedad básica

$$\langle {{\boldsymbol{x}}}_f,t_f\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\ran... ...boldsymbol{x}}}_a,t_a\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\rangle d{{\boldsymbol{x}}}_a$$ (1.11)

donde $t_a$ es un tiempo intermedio arbitrario. Esta propiedad indica que la partícula en ${{\boldsymbol{x}}}_i$ en tiempo $t_i$ puede llegar a ${{\boldsymbol{x}}}_f$ en tiempo $t_f$ pasando por cualquiera de los puntos ${{\boldsymbol{x}}}_a$ en el tiempo intermedio $t_a$, con mayor o menor amplitud de probabilidad, dependiendo del propagador.