Siguiente: 1.4 Fórmula de Feynman Arriba: 1 Integral de caminos. Anterior: 1.2 Operador de evolución

1.3 Fórmula de Feynman.

Escribiendo el operador de evolución como un producto de evoluciones de paso temporal $\delta t$, obtenemos una cadena de evoluciones $t_i=t_0\to t_1 \to t_2\to \cdots\to t_N=t_f$, con sus correspondientes saltos ${{\boldsymbol{x}}}_i={{\boldsymbol{x}}}_0\to {{\boldsymbol{x}}}_1 \to {{\boldsymbol{x}}}_2\to \cdots\to {{\boldsymbol{x}}}_N={{\boldsymbol{x}}}_f$. Sumando sobre todas las posibilidades,

$$\langle {{\boldsymbol{x}}}_f,t_f\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\ran... ...\cdots \langle {{\boldsymbol{x}}}_1,t_1\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\rangle \,.$$ (1.12)

La suma (o integral) es sobre todos los posibles puntos ${{\boldsymbol{x}}}$ en tiempos intermedios, es decir, sobre todos los caminos ${{\boldsymbol{x}}}(t)$ que unen $( {{\boldsymbol{x}}}_i,t_i)$ con $({{\boldsymbol{x}}}_f,t_f)$.

Tomando ahora el límite de pasos infinitesimales, $\delta t\rightarrow 0$ ( y $N\to\infty$) se puede calcular el propagador $\langle {{\boldsymbol{x}}}_j,t_j\vert{{\boldsymbol{x}}}_{j-1},t_{j-1}\rangle$ con aproximación suficiente, encontrándose que la aproximación clásica extrema (1.7) es válida en este límite, y (1.12) puede escribirse (Fórmula de integral de caminos de Feynman)

$$\langle {{\boldsymbol{x}}}_f,t_f\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\ran... ...oldsymbol{x}}}(t) \, \exp \left(\frac{i}{\hbar}W[{{\boldsymbol{x}}}(t)] \right)$$ (1.13)

$W[{{\boldsymbol{x}}}(t)]$ es la acción correspondiente a la trayectoria (clásica o no) ${{\boldsymbol{x}}}(t)$. En particular, para una partícula en un potencial

$$W[{{\boldsymbol{x}}}(t)]= \int^{t_f}_{t_i}dt\, \left( \frac{1}{2}m\dot{{\boldsymbol{x}}}^2(t) -V({{\boldsymbol{x}}}(t),t) \right) \,.$$ (1.14)

Siguiente: 1.4 Fórmula de Feynman Arriba: 1 Integral de caminos. Anterior: 1.2 Operador de evolución