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2.1 Partícula en un campo electromagnético e invariancia gauge.

El lagrangiano de una partícula no relativista en un campo electromagnético es

$$L({{\boldsymbol{x}}},\dot{{\boldsymbol{x}}},t)= \frac{1}{2}m\dot{... ... +\frac{q}{c}\dot{{\boldsymbol{x}}}{{\boldsymbol{A}}}({{\boldsymbol{x}}},t) \,.$$ (2.1)

Como es sabido, bajo una transformación de gauge de los potenciales escalar y vector

$$\phi^\prime({{\boldsymbol{x}}},t)=\phi({{\boldsymbol{x}}},t)-\fra... ...symbol{A}}}({{\boldsymbol{x}}},t)+\nabla\Lambda({{\boldsymbol{x}}},t) \,,\qquad$$ (2.2)

el lagrangiano se transforma como

$$L^\prime({{\boldsymbol{x}}},\dot{{\boldsymbol{x}}},t)=L({{\boldsymbol{x}}},\dot{{\boldsymbol{x}}},t)+\frac{d}{dt}\Lambda({{\boldsymbol{x}}},t)\,,$$ (2.3)

y las ecuaciones de movimiento quedan invariantes (actúa la fuerza de Lorentz

$${{\boldsymbol{F}}}=q{{\boldsymbol{E}}}({{\boldsymbol{x}}},t) + \frac{q}{c}\dot{{\boldsymbol{x}}}\times{{\boldsymbol{B}}}$$ (2.4)

que es invariante gauge).

En el caso cuántico se obtiene la misma invariancia teniendo en cuenta que la función de onda se transforma según

$$\psi^\prime({{\boldsymbol{x}}},t)=e^{iq\Lambda({{{\boldsymbol{x}}}},t)/\hbar c}\psi({{\boldsymbol{x}}},t)\,.$$ (2.5)

Este resultado corresponde a una transformación unitaria en la formulación canónica y se obtiene en forma muy directa en la formulación de Feynman. En efecto, el propagador en el nuevo gauge es

$$\langle {{\boldsymbol{x}}}_f,t_f\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\ran... ...\boldsymbol{x}}}(t) \, e^{\frac{i}{\hbar}W^\prime[{{{\boldsymbol{x}}}}(t)]} \,,$$ (2.6)

pero, usando (2.3),

$$W^\prime[{{{\boldsymbol{x}}}}(t)] = W[{{{\boldsymbol{x}}}}(t)] +\... ...bda({{\boldsymbol{x}}}_f,t_f)-\frac{q}{c} \Lambda({{\boldsymbol{x}}}_i,t_i) \,,$$ (2.7)

que implica

$$\langle {{\boldsymbol{x}}}_f,t_f\vert{{\boldsymbol{x}}}_i,t_i\ran... ...boldsymbol{x}}}_i,t_i\rangle e^{-iq\Lambda({{{\boldsymbol{x}}}}_i,t_i)/\hbar c}$$ (2.8)

y equivale a (2.5).

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