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INVESTIGACIÓN Página principal EXCURSIONES MATEMÁTICAS

DOCENCIA. CURSO 2024/25

"Las Matemáticas no se entienden, simplemente te acostumbras a ellas" John von Neumann (1903-1957)

$Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\profesor.gif$ "La enseñanza nace del diálogo, del alumno que hace preguntas" Sócrates (470 a.C.-399 a.C.)

................................................................................¡Cuidado con nuestra labor docente. Puede sucedernos algo como esto! 2+3............................................

ANÁLISIS MATEMÁTICO AVANZADO (Grado en Estadística).......... ANÁLISIS MATEMÁTICO II (Grado en Matemáticas)

Cursos anteriores (incluye numeroso material docente) ..... Trabajos Fin de Grado

TUTORÍAS: Lunes: 12-14, Martes: 10-12, Miércoles: 10-12. Despacho nº 15, Matemáticas, 1ª planta. Por favor contacta conmigo previamente: acanada@ugr.es

ENLACES QUE SUELO USAR PARA LA DOCENCIA

THE MACTUTOR HISTORY OF MATHEMATICS ARCHIVE. Muy útil para todas las cuestiones relacionadas con la historia de la matemática. Para mí es particularmente atractiva la sección sobre los "Matemáticos del día". Podemos aprender mucho de sus vidas.

DIVULMAT. Centro virtual de divulgación de las matemáticas. RSME. ¡Cómo se disfruta con esta página! https://www.divulgamat.net/divulgamat15/

ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS. Springer, en colaboración con la European Mathematical Society ofrecen esta enciclopedia, especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page

ERIC WEISSTEIN'S WORLD OF MATHEMATICS. Especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos. http://mathworld.wolfram.com

ERIC WEISSTEIN'S WORLD OF PHYSICS. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física. http://scienceworld.wolfram.com/physics/

WORLD OF MATHEMATICS . Proporciona una extensa y precisa información para todos aquellos interesados en la matemática (investigación, educación, historia, etc.) http://www.zentralblatt-math.org/portal/en/

+PLUS MAGAZINE... living mathematics. Una delicia de página: matemáticas divertidas y serias, al mismo tiempohttps://plus.maths.org/content/

ANÁLISIS MATEMÁTICO AVANZADO, 2024/25 Tercer curso del Grado en Estadística

............................ ......................

.........J.B.J. Fourier (1768-1830) ..................................J. V. Neumann (1903-1957)...... ...........A.L. Cauchy (1789-1857)

¿Es posible entender una teoría si desde el primer momento se le da la forma definitiva que impone una lógica rigurosa, sin mencionar para nada el camino por el que ha llegado a adoptar esa forma? No, realmente no es posible entenderla, incluso resulta imposible retenerla si no es de memoria (J. H. Poincaré)

Guía docente PDF

El alumnado debe tener la plataforma PRADO de la UGR, como referencia para esta asignatura. De hecho en PRADO encontrará: clases grabadas, archivos pdf de las clases grabadas, tareas a entregar, exámenes, etc.

En especial, pueden ser útiles las que yo llamo "notas docentes", que no deben ser consideradas como unos apuntes de la asignatura. Son simplemente las notas que yo elaboro para preparar las clases, escritas a mano. A veces hay tachones, correcciones, etc. A pesar de ello, considero que pueden ser útiles para los estudiantes, puesto que son "una forma más rápida y directa de acceder a los contenidos fundamentales de la asignatura" que lo que se consigue con los libros y apuntes tradicionales.

El acceso es con la clave de Prado proporcionada a los alumnos matriculados.

Exámenes del curso 2022/23: 24/10/2022 PDF ..... 13/12/2022 PDF.....17/01/2023 PDF

Exámenes del curso 2023/24: 24/10/2023 PDF ..... 12/12/2023 PDF

Enlaces a páginas relacionadas:

MacTutor History of Mathematics Archive https://mathshistory.st-andrews.ac.uk Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la creación y evolución del análisis funcional, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia.

Wolfram MathWorld https://mathworld.wolfram.com/topics/ProbabilityandStatistics.html ERIC WEISSTEIN'S World of Mathematics. Página especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos.

Encyclopedia of Mathematics https://encyclopediaofmath.org/wiki/Main_Page Una de las mejores páginas que conozco de contenido matemático serio, serio.

Plataforma PRADO de la UGR, a la que el alumno podrá acceder con su clave.

ANÁLISIS MATEMÁTICO II, 2024/25 Segundo curso del Grado en Matemáticas

J.B.J. Fourier (1768-1830) ... H. Lebesgue (1875-1941)....B. Riemann (1826-1866)

Guía docente PDF

El alumnado debe tener la plataforma PRADO de la UGR, como referencia para esta asignatura. Esta página web es complementaria de la plataforma PRADO.

En PRADO se pueden encontrar las que yo llamo "notas docentes", que no deben ser consideradas como unos apuntes de la asignatura. Son simplemente las notas que yo elaboro para preparar las clases, escritas a mano. A veces hay tachones, correcciones, etc. A pesar de ello, considero que pueden ser útiles para los estudiantes, puesto que son "una forma más rápida y directa de acceder a los contenidos fundamentales de la asignatura" que lo que se consigue con los libros y apuntes tradicionales.

Este curso , las notas docentes son: integración, una perspectiva histórica; sigma-álgebras y medida: la medida de Lebesgue; funciones medibles e integral de Lebesgue; teoremas de convergencia y aplicaciones; teorema fundamental del cálculo para integral de Lebesgue; integración iterada y cambio de variable.

El acceso es con la clave de Prado proporcionada a los alumnos matriculados.

Enlaces a páginas relacionadas:

MacTutor History of Mathematics Archive https://mathshistory.st-andrews.ac.uk Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la creación y evolución de las principales ideas de las Matemáticas, así como para conocer los Matemáticos y Matemáticas que han intervenido de manera fundamental en la "creación" de esta materia a lo largo de la historia.

Wolfram MathWorld..... https://mathworld.wolfram.com/topics/MeasureTheory.html ..... ERIC WEISSTEIN'S World of Mathematics. Página especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos.

Encyclopedia of Mathematics https://encyclopediaofmath.org/wiki/Main_Page Una de las mejores páginas que conozco de contenido matemático serio, serio.

Pueden ser útiles estos cursos del prestiogioso Massachusetts Institute of Technology

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-125-measure-and-integration-fall-2003/lecture-notes/.

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/

Exámenes del curso 2023/24 : 11/abril/2024PDF ... 23/mayo/2024 PDF ... 19/junio/2024 PDF ... 19/junio/2024 (matrícula de honor) PDF ... 17/julio/2024 PDF

Cursos anteriores

ANÁLISIS FUNCIONAL (Doble Grado en Ing. Informática y Matemáticas)

ANÁLISIS NO LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES (Master Universitario Fisymat)

VARIABLE COMPLEJA I (Grado en Matemáticas)

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. Grado en Matemáticas.

ANÁLISIS VECTORIAL. Grado en Matemáticas.

ANÁLISIS FUNCIONAL. Grado en Matemáticas

ANÁLISIS DE FOURIER , Grado en Matemáticas

MÉTODOS VARIACIONALES , Licenciatura en Matemáticas

ANÁLISIS CONVEXO Y OPTIMIZACIÓN , Licenciatura en Matemáticas

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Cursos 2017/18 a 2019/20. Grado en Matemáticas.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES . Cursos 2003/04 a 2006/07. Grado en Matemáticas

FÍSICA MATEMÁTICA: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES E INTEGRALES. Licenciatura en Física

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Tercer curso de Ingeniería de Caminos, C. y P.

SEMINARIO DE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. Optativa de segundo ciclo de Matemáticas.

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. Licenciatura en Ciencias y Técnicas Estadísticas

CÁLCULO DE VARIACIONES Y OPTIMIZACIÓN. Programa de Posgrado en Física y Matemáticas, Fisymat.

TRABAJOS FIN DE GRADO Y SIMILARES (los autores han autorizado que estos archivos aparezcan aquí).

Oscar Cortadellas Izquierdo. Series de Taylor y Series de Fourier,una novela histórica, Curso 2004/05.

Francisco Nogueras Lara y Francisco Rivas García. La obra científica de Isaac Newton, Curso 2009/10.

Alejandra Torres Martínez. Series de Taylor y Series de Fourier: un estudio comparativo, Curso 2014/15

Mercedes López Ortega . Una perspectiva histórica de los Métodos de Fourier, Curso 2015/16

José Félix Sánchez Martínez . El Teorema de Bolzano y Sistemas de Ecuaciones, Curso 2015/16

Miguel López Pérez . El Teorema de Lax-Milgram: origen, generalizaciones y aplicaciones, Curso 2016/17

Manuel Ruiz Cárdenas . Conjuntos de unicidad para series trigonométricas, Curso 2016/17

Francisco Javier Martínez Sánchez . Una generalización del teorema de los multiplicadores de Lagrange: condiciones de Karush-Kuhn-Tucker en programación no lineal. Curso 2017/18 PDF

Luis Felipe del Río López. Teoría de Hilbert-Schmidt, bases hilbertianas y aplicaciones. Curso 2019/20 PDF

Olga Albaladejo Cerezo. Principios del máximo-mínimo para operadores elípticos. Curso 2019/20 PDF

María del Carmen Andrades Moya. Teorema de la Función Implícita. Curso 2020/21 PDF

Antonio Jesús López Trujillo. Análisis Real-Análisis Complejo: tan parecidos y tan diferentes. Curso 2021/22 PDF

Víctor Manuel López de la Paz. Dimensión finita-dimensión infinita: un estudio comparativo desde el punto de vista del Análisis Funcional. Curso 2022/23 PDF

Víctor Ávila Villena. Ensayos de visualización en Análisis de Fourier. Curso 2022/23 PDF

ANÁLISIS FUNCIONAL 2022/23. Cuarto curso del doble grado en Ingeniería Informática y Matemáticas

riesz F. Riesz banach S. Banach D. Hilbert

"The infinite. No other question has ever moved so profoundly the spirit of man" David Hilbert (1921)

- Guía docente de la asignatura (programa, bibliografía, evaluación, etc.) PDF

El alumnado debe tener la plataforma PRADO de la UGR, como referencia para esta asignatura. De hecho en PRADO encontrará: clases grabadas, archivos pdf de las clases grabadas, tareas a entregar, exámenes de este curso y de cursos anteriores, etc.

NOTAS DOCENTES DE ANÁLISIS FUNCIONAL (un resumen, muy personal, del contenido explicado en la asignatura).

Estas notas incluyen cuestiones y ejercicios resueltos, que yo considero especialmente significativos para entender correctamente la asignatura. El contenido de las de este curso es: Los orígenes del Análisis Funcional, Espacios vectoriales de dimensión infinita, Espacios normados, Topología de espacios normados, Operadores lineales, Teorema de Hanh-Banach, Un primer encuentro con los espacios de Hilbert, Teorema de la proyección ortogonal, Dual de un espacio de Hilbert, Lema de Baire.

Enlaces a páginas relacionadas:

- The MacTutor History of Mathematics archive. Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la creación y evolución del análisis funcional, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia.

- http://mathworld.wolfram.com/topics/FunctionalAnalysis.html ERIC WEISSTEIN'S World of Mathematics. Página especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos.

- https://encyclopediaofmath.org/wiki/Functional_analysis Una de las mejores páginas que conozco de contenido matemático serio, serio.

- Plataforma PRADO de la UGR, a la que el alumno podrá acceder con su clave.

- Exámenes del curso 2021/22: 03/11/2021 PDF ..... 21/12/2021 PDF ..... 12 /01/2022 PDF ..... 07/02/2022 PDF

- Exámenes del curso 2022/23: 03/11/2022 PDF ..... 15/12/2022 PDF .....11/01/2023 PDF .....07/02/2023 PDF

- Exámenes de una asignatura similar del Grado en Matemáticas:

12/11/2014 PDF 19/01/2015 PDF 26/01/2015 PDF 18/11/2015 PDF 20/01/2016 PDF 9/02/2016 PDF 09/02/2016 (para matrícula de honor) PDF

16/09/2016 PDF 9/11/2016 PDF 13/01/2017 PDF 23/01/2017 PDF 10/07/2017 PDF

ANÁLISIS NO LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES

Curso 2022/23

.....................................Máster Universitario en Física y Matemáticas, Fisymat

· Karen Uhlenbeck (Premio Abel de Matemáticas 2019): "El famoso matemático sueco Lennart Carlesson dijo una vez que el análisis lineal es como un jardín y el análisis no lineal es como la jungla. Y yo hago análisis no lineal. No puedes sentarte, empezar un problema y llegar al final. Tienes que intentar 25 maneras diferentes de abordar el problema y quizá llegues a algún sitio. Pero es una búsqueda apasionante"

K. Uhlenbeck (1942-)

S. Kovalevskaya (1850-1891)

...Brouwer.......Leray......Schauder......Euler .......Lagrange.......Hilbert

Información general del curso (programa, bibliografía, evaluación, etc.) Guía docente Máster Universitario en Física y Matemáticas Fisymat

El alumnado debe tener la plataforma PRADO de la UGR, como referencia para esta asignatura.

De hecho en PRADO encontrará: apuntes detallados, tareas a entregar, etc.

Estas notas incluyen cuestiones y ejercicios resueltos, que yo considero especialmente significativos para entender correctamente la asignatura. El contenido de las de este curso es: Los orígenes del Análisis no Lineal, Teoremas "tipo Bolzano", Teoremas de punto fijo, El Grado Topológico de Leray-Schauder, Aplicaciones a problemas de contorno y ecuaciones integrales.

NOTAS DOCENTES La bibliografía usada en la preparación de estas notas docentes es la que aparece en la anterior guía docente, tanto la bibliografía fundamental como la complementaria, así como los enlaces mencionados en la misma.

- Otros materiales docentes

- Apuntes elaborados por Francisco Javier Martínez Sánchez, alumno del máster Fisymat durante el curso 2018/19:Nonlinear Analysis and Differential Equations. PDF

El curso fué impartido por: Antonio Cañada Villar, David Ruiz Aguilar y Salvador Villegas Barranco, del Departamento de Análisis Matemático de la UGR.

- A. Cañada y S. Villegas: El Teorema de Bolzano, una herramienta potente para el estudio de sistemas de ecuaciones Arhimede Mathematical Journal, vol. 3, 2016, 2-17 PDF

- A. Cañada y S. Villegas: ¿El Teorema de Bolzano en varias variables? Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, RSME, vol. 7.1, 2004, 101-121 PDF

- José Félix Sánchez Martínez . El Teorema de Bolzano y Sistemas de Ecuaciones, Curso 2015/16 (Trabajo fin de grado)

- A. Cañada: Nociones generales de Cálculo de Variaciones: PDF

- A. Cañada: Introducción al análisis no lineal con aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales PDF

- Enlaces a páginas relacionadas:

ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.

http://mathworld.wolfram.com/BrouwerDegree.html

.............................http://mathworld.wolfram.com/SchauderFixedPointTheorem.html

http://mathworld.wolfram.com/FixedPointTheorem.html

http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html

VARIABLE COMPLEJA I (cursos 2020/21 y 2021/22). Tercer curso del Grado en Matemáticas.

............................ ......................

.........J.C.F. Gauss (1777-1855) ..................................G.F.B. Riemann (1826-1866)...... ...........A.L. Cauchy (1789-1857)

"Como todavía no tengo clara otra forma de conseguirlo que, no sea por un procedimiento imaginario, denotaré la fórmula √−1 por la letra i en el futuro. Así que i.i = -1 y, por tanto, 1/i = -i", Leonhard Euler, 1.777.

Guía docente PDF

El acceso es con la clave de Prado proporcionada a los alumnos matriculados.

Estas notas incluyen cuestiones y ejercicios resueltos, que yo considero especialmente significativos para entender correctamente la asignatura. El contenido de las mismas este curso es: Introducción histórica, Operaciones complejas básicas y funciones complejas elementales, Topología compleja, Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Series de potencias, Integrales curvilíneas, Teorema de Cauchy, Fórmula integral de Cauchy, Holomorfía-Analiticidad, Desarrollo de Laurent, El Teorema de los residuos, Desigualdades de Liouville, El Teorema fundamental del Álgebra, Principio de identidad, Principio del módulo máximo.

Enlaces a páginas relacionadas:

MacTutor History of Mathematics Archive https://mathshistory.st-andrews.ac.uk

Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/topics/ComplexAnalysis.html

Encyclopedia of Mathematics https://encyclopediaofmath.org/wiki/Main_Page

JEREMY ORLOFF. Complex Variables with Applications.

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-04-complex-variables-with-applications-spring-2018/

Exámenes y pruebas: 12/11/2020 ..... 21/12/2020 ..... 26/01/2021 ..... 15/02/2021 .....02/11/2021 ..... 21/12/2021 ..... 19/01/2022 ,,,,,

19/01/2022 (m. honor) ..... 14/02/2022

ANÁLISIS MATEMÁTICO I (Curso 2020/21)

...............................................................

I. Newton (1643-1727) ............................... G. Leibniz (1646-1716)......................... J.L. Lagrange (1736-1813)

Guía docente PDF

Mientras dure esta situación excepcional, el alumnado debe tener la plataforma PRADO de la UGR, como referencia para esta asignatura.

De hecho en PRADO encontrará: clases grabadas, archivos pdf de las clases grabadas, apuntes detallados, tareas a entregar, etc.

Enlaces a páginas relacionadas:

MacTutor History of Mathematics Archive http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/topics/Calculus.html

Encyclopedia of Mathematics https://encyclopediaofmath.org/wiki/Main_Page

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc- multivariable-calculus- fall-2010/index.htm

ANÁLISIS DE FOURIER . Curso 2016/17. Cuarto curso del Grado en Matemáticas

$Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Cantor.jpg$ G. Cantor $Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\fourier.jpg$ J. Fourier $Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Lebesgue.jpg$ H. Lebesgue

"Los métodos de Fourier no son solamente uno de los resultados más hermosos del análisis moderno, sino que puede decirse además que proporcionan un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones de la física actual, por recónditas que sean" . William Thomson ( Lord Kelvin), 1824-1907.

- Información general (guía docente de la asignatura, programa, bibliografía, evaluación, etc.) GUÍA DOCENTE

-Orientaciones generales sobre el contenido de la asignatura:

Capítulo I: Introducción y motivación.

Seguiremos básicamente la "Introducción histórica" de: A. Cañada, Series de Fourier y Aplicaciones, Pirámide 2002. Asimismo, es de gran utilidad para todos los temas históricos, hasta comienzos del siglo XX: M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, 1972. Versión española en Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992.

Pueden ser también útiles los siguientes archivos: PDF PDF PDF (de éste último, sólo las tres primeras páginas) y la página

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

que se ha convertido, hoy en día, en una página de obligada referencia para todos aquellos interesados en la historia de la matemática.

Aquellos que tengan interés en la deducción de la ecuación del calor, pueden consultar el archivo PDF (páginas 5 a 10).

Capítulo II: Series de Fourier y aplicaciones.

Seguiremos básicamente el Capítulo I "El espacio L^2 (a,b)" y el Capítulo II "Series de Fourier", de: A. Cañada, Series de Fourier y Aplicaciones, Pirámide 2002.

Asimismo, pueden ser útiles los archivos PDFI PDFII Teorema de Lebesgue (base trigonométrica) PDF

y las referencias siguientes:

- T. W. Körner. Fourier analysis. Cambridge University Press, 1988. Capítulo III.

- C.S. Rees, S.M. Shah y C.V. Stanojevic. Theory and Applications of Fourier Analysis. Marcel Dekker, 1981. Capítulo 2.

Capítulo III: Transformada de Fourier y aplicaciones. Recomendaciones válidas para el curso 2013/14

Los resultados fundamentales se pueden consultar en el libro de W. Rudin "Análisis real y complejo", capítulo IX, así como en los libros de T.W. Körner (capítulo IV) y C.S. Rees-S.M. Shah-C.V. Stanojevic (capítulo VI), anteriormente mencionados. Para las aplicaciones a las ecuaciones de la física matemática, es recomendable el libro de A.N. Tíjonov y A.A. Samarski: "Ecuaciones de la física matemática, Mir, 1980".

El archivo PDF titulado "LECCIONES SOBRE LAS SERIES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER" , puede ser de gran utilidad para este capítulo, así como para el resto de la asignatura. Su autor es Javier Duoandikoetxea, del Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco (el autor me ha permitido colocarlo aquí).

- Resumen de los capítulos I y II (curso 2015/16), realizado por el alumno Sergio Cruz Blázquez PDF

- Algunos archivos ilustrando la convergencia puntual de Series de Fourier y el fenómeno de Gibbs (realizados con el programa Mathematica) PDF PDF PDF

- Exámenes realizados: 29/11/2013 PDF 17/01/2014 PDF 05/02/2014 PDF 01/09/2014 PDF 18/11/2014 PDF 23/01/2015 PDF 04/02/2015 PDF1 PDF2 01/09/2015 PDF 11/11/2015 PDF 15/01/2016 PDF 5/02/2016 PDF 5/02/2016 (para matrícula de honor) PDF 3/09/2016 PDF 8/11/2016 PDF 30/01/2017 PDF 12/07/2017 PDF

- Páginas relacionadas.

- Página de un curso que se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester. Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- The MacTutor History of Mathematics archive. Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la evolución de la teoría de EDP, así como para conocer los Matemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia.

ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página especialmente útil para consultar temas muy diversos y por las conexiones que establece entre los mismos. http://mathworld.wolfram.com/FourierAnalysis.html

. ANÁLISIS FUNCIONAL. Curso 2016/17. Tercer curso del Grado en Matemáticas

Stefan Banach David Hilbert

"The infinite. No other question has ever moved so profoundly the spirit of man" David Hilbert (1921)

- Guía docente de la asignatura (programa, bibliografía, evaluación, etc.) GUÍA DOCENTE

- NOTAS DOCENTES PDF La bibliografía usada en la preparación de estas notas docentes es la que aparece en la anterior guía docente, tanto la bibliografía fundamental como la complementaria, así como los enlaces mencionados en la misma.

- Relación de problemas nº 1 PDF (curso 2016/17) Relación de problemas nº 2 PDF (curso 2016/17)

Relación de problemas PDF (curso 2015/16) Relación de problemas PDF (curso2015/16)

- Orientaciones generales sobre el contenido de la asignatura: (todas las fuentes bibliográficas que se citan se pueden consultar en mi despacho o en la biblioteca del Departamento de Análisis Matemático). Oportunamente se irá actualizando el contenido de este apartado.

Notas históricas sobre el origen, desarrollo y estado actual del Análisis Funcional.

Es de gran utilidad para todos los temas históricos, hasta comienzos del siglo XX: M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, 1972, Capítulo 42 (versión española en Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1992).

También puede consultarse: J. Dieudonné, History of Functional analysis. North-Holland, 1981.

La página http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html se ha convertido, hoy en día, en una página de obligada referencia para todos aquellos interesados en la historia de la matemática.

Se pueden mirar, por ejemplo, las biografías de René Baire, Stefan Banach, Marcel Riesz y David Hilbert.

El artículo de Garrett Birkhoff y Erwin Kreyszig: " The establishement of Functional analysis", Historia Matematica, 11 (1984), 258-321, es recomendable. Éste es el resumen:

This article surveys the evolution of functional analysis, from its origins to its establishment

as an independent discipline around 1933. Its origins were closely connected with the

calculus of variations, the operational calculus. and the theory of integral equations. Its

rigorous development was made possible largely through the development of Cantor’s

“Mengenlehre,” of set-theoretic topology, of precise definitions of function spaces, and of

axiomatic mathematics and abstract structures. For a quarter of a century, various outstanding

mathematicians and their students concentrated on special aspects of functional analysis,

treating one or two of the above topics. This article emphasizes the dramatic developments

of the decisive years 1928-1933, when functional analysis received its final unification.

Tema I, parte primera: espacios normados.

El alumno debe entender adecuadamente:

- Los conceptos básicos de los espacios normados, estudiando ejemplos variados de espacios normados (espacios l_p de sucesiones, espacios de funciones continuas y derivables y espacios L_p de funciones, con las normas usuales). Debe familiarizarse, en este ambiente general, con la topología y distancia derivadas de la norma, sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy, etc.

- Particularidades destacables de las aplicaciones lineales y continuas (continuidad y acotación, por ejemplo) así como las diferencias fundamentales con las aplicaciones continuas no lineales. Debe practicar con el cálculo de normas de los elementos del espacio dual de un espacio normado

- Diferencias fundamentales que existen entre los espacios normados de dimensión finita e infinita, referentes, entre otras a: normas equivalentes, teorema de Bolzano-Weierstrass, compacidad de las bolas cerradas, espacio dual algebraico y dual topológico.

Las siguientes referencias bibliográficas pueden ser adecuadas:

G. Choquet. Topología. Toray-Masson, S.A. Barcelona, 1971: Capítulo III, apartado II. Para consulta de conceptos previos, son útiles: Capítulo I, apartados II y III.

H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984. Capítulo IV, apartados IV.1 y IV.2

L. Liusternik y V. Sobolev. Elements of Functional Analysis. Frederick Ungar Publishing Company, New York, 1961. Capítulos II y III. Es uno de los libros sobre Análisis funcional que más me gusta. Entre otras cosas es una enciclopedia de ejemplos.

Tema I, parte segunda: sobre los principios básicos del Análisis Funcional.

-Para el Teorema de Hahn-Banach (y los teoremas de separación de conjuntos convexos, si ha lugar) seguiremos el libro: H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984, apartados I.1 y I.2. Archivo "casero" del T-H-B PDF

Una de las numerosas aplicaciones de los teoremas de separación son los llamados Teoremas tipo alternativa para sistemas de inecuaciones lineales. Por ejemplo, los Teoremas de Gordan y Farkas de gran interés en Economía. Aplicaciones de estos últimos teoremas a programación lineal puede verse en el libro: Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 2.

- Los teoremas de Baire, Banach -Steinhaus (PDF), de la aplicación abierta (PDF) (y de la gráfica cerrada (PDF), se pueden ver en H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984, apartados II.1, II.2 y II.3.

El alumno debe practicar con ejemplos diversos para familiarizarse con la noción de categoría (de Baire), así como entender adecuadamente la potencia del Teorema de Baire.

El siguiente archivo (sobre el Teorema de la aplicación abierta) puede ser útil PDF

Tema II: espacios de Hilbert.

- Seguiremos básicamente el libro: H. Brezis. Análisis Funcional. Alianza Universidad, Madrid, 1984, apartados V.1, V.2 y V.4. El alumno debe entender, especialmente, lo que se refiere a:

- Ejemplos de espacios prehilbertianos y de Hilbert en dimensión infinita (espacios de sucesiones y espacios de funciones). Espacios l_p

- Teorema de la proyección sobre un convexo cerrado no vacío. Particularidades del caso en el que el citado conjunto es un subespacio vectorial cerrado. Teorema y Reflexiones

- Identificación entre un espacio de Hilbert y su dual topológico.

- Existencia y caracterización de bases hilbertianas en dimensión infinita. Propiedades fundamentales dl desarrollo de Fourier.

- Bases hilbetianas obtenidas a través de los operadores compactos y autoadjuntos. Ejemplos de problemas de contorno del tipo Sturm-Liouville.

Los siguientes archivos pueden ser útiles: - sobre la ley del paralelogramo PDF

- sobre la existencia de bases hilbertianas PDF

-ejercicio 15, relación segunda PDF (sustitúyase L^2 (a,b) por H)

- Enlaces a páginas relacionadas:

- Exámenes realizados:

12/11/2014 PDF 19/01/2015 PDF 26/01/2015 PDF 18/11/2015 PDF 20/01/2016 PDF 9/02/2016 PDF 09/02/2016 (para matrícula de honor) PDF

16/09/2016 PDF 9/11/2016 PDF 13/01/2017 PDF 23/01/2017 PDF 10/07/2017 PDF

MÉTODOS VARIACIONALES . Quinto curso de Matemáticas

Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange David Hilbert

Aquí encontrarás : Información general de la asignatura, resumen de las ideas fundamentales, temas para la exposición en clase y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas.

- Convocatoria de Septiembre de 2015: 18/09/2015, a las 16 h. en el Seminario del Departamento de Análisis Matemático (Facultad de Ciencias).

- Convocatoria de Febrero de 2015: 04/02/2015, a las 16 h. en el aula A22.

- Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.) DOC

- Resumen de los contenidos fundamentales. PDF

Muchas de las orientaciones generales sobre el contenido de la asignatura Análisis convexo y Optimización, pueden ser útiles para ésta de Métodos Variacionales.

- Temas que expusieron los alumnos a partir del 14 de Enero de 2013: PDF Oportunamente se actualizarán para este curso.

- Exámenes realizados. 02/02/2010 PDF 28/01/2014 PDF 09/02/2012 PDF 07/02/2013 PDF 28/11/2014 PDF 23/24 Enero 2014 PDF 05/07/2014 PDF 19/09/2014 PDF

- Enlaces a páginas relacionadas.

ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.

http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html

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ANÁLISIS CONVEXO Y OPTIMIZACIÓN . Quinto curso de Matemáticas

H. Minkowski H. Hahn S. Banach

Aquí encontrarás : Información general de la asignatura, resumen de las ideas fundamentales, temas para la exposición en clase y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas.

- Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.) DOC

- Notas y apuntes que pueden ser interesantes PDFMV Estas notas las elaboré para la asignatura "´Métodos Variacionales", optativa de segundo ciclo de Matemáticas. No obstante, el contenido de las páginas 1 a 35 puede también ser de interés para la asignatura "Análisis Convexo y Optimización".

- Temas que expondrán los alumnos a partir del 14 de Enero de 2013 : PDF

- Exámenes. 15/02/2011 PDF 03/02/2012 PDF PDF 01/02/2013 PDF

Capítulo I: Introducción, motivación y notas históricas.

Los orígenes del cálculo diferencial e integral, en relación con problemas de optimización están muy bien expuestos en : M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1.972. Capítulo 17. Traducción al castellano en Alianza Editorial, Madrid, 1.992. Particularmente conviene ver con detalle las aportaciones de Fermat, Leibniz y Newton, comparando sus respectivas ideas y métodos. Este libro es el mejor que conozco sobre historia de las matemáticas (desde sus orígenes hasta principios del siglo XX).

Sobre el nacimiento del cálculo de variaciones y cuestiones relacionadas con la ecuación de Euler-Lagrange, pueden consultarse:

M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1.972. Capítulo 24.

E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 7, 1994, 674-678.

E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 9, 1994, 902-908.

Los dos últimos son artículos cortos, pero donde se reflejan de manera precisa y clara, las ideas fundamentales del cálculo de variaciones, desde sus orígenes (Johann Bernoulli y el problema de la braquistocrona) hasta el llamado cálculo de variaciones global (teoría de Morse), pasando por algunas ideas fundamentales del análisis funcional.

Sobre los orígenes históricos de la programación lineal y no lineal, así como sobre el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker, puede consultarse el artículo:

T. H. Kjeldsen. A Contextualized Historical analysis of the Kuhn-Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II, historia Mathematica, Vol. 27, 2000, 331-361.

Me gustó mucho este artículo cuando lo leí. Por una parte, se ponen de manifiesto de manera clara las diferentes motivaciones matemáticas (problemas de programación lineal, extremos condicionados en cálculo de variaciones, problemas de geometría convexa, respectivamente) que llevaron a H. W. Kuhn y A. W. Tucker (1950), W. Karush (1939) y F. John (1948) a obtener, "prácticamente el mismo resultado", sobre las condiciones necesarias que ha de satisfacer la solución de un problema de programación no lineal. Por otra, se aportan diferentes datos sobre el contexto social de la época, incluyendo el papel jugado por la investigación e interés militar en este tipo de problemas.

Las notas citadas con anterioridad PDFMV también pueden ser útiles para el contexto histórico de los problemas de cálculo de variaciones (páginas 1 a 11).

Finalmente, en el artículo: R. J. Dwilewicz. "A Short History of Convexity", differential Geometry-Dynamical Systems, Vol. 11, 2009, 112-129, puede encontrarse una buen resumen de la historia de la noción de convexidad, desde la definición dada por Arquímedes y los "cinco sólidos platónicos" hasta su relación reciente con la geometría algebraica, ecuaciones en derivadas parciales, análisis complejo y optimización en espacios normados.

Como ya sabemos, la página web THE MACTUTOR HISTORY OF MATHEMATICS ARCHIVE http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html es imprescindible hoy en día para cualquier tema relacionado con la historia de las matemáticas.

Capítulo II: Conjuntos convexos y funciones convexas.

Para la noción de conjunto convexo, propiedades fundamentales de los mismos, etc. pueden consultarse:

E. A. L. Peressini, F. E. Sullivan y J.J. Uhl, Jr. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer- Verlag, 1988. Capítulo 2, apartados 2.1 y 2.2.

Las propiedades elementales de los conjuntos convexos están bien expuestas en este libro, aunque la notación, a veces, es algo engorrosa. Además, pueden consultarse algunas aplicaciones de la noción de convexidad en Economía (modelos de producción lineales). Para propiedades más avanzadas es conveniente el libro J. V. Tiel. Convex Analysis, an introductory text, John Wiley and Sons, 1984. Capítulos 2 y 4.

Los teoremas de separación de conjuntos convexos los vamos a obtener como una continuación natural de los tratados en la asignatura de análisis funcional. Es especialmente recomendable el libro: H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Editorial, 1984, Capítulo I (es uno de los mejores libros de análisis funcional que conozco). Una de las numerosas aplicaciones de los teoremas de separación son los llamados Teoremas tipo alternativa para sistemas de inecuaciones lineales. Nosotros demostraremos los Teoremas de Gordan y Farkas. Aplicaciones de estos últimos teoremas a programación lineal puede verse en el libro: Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 2.

La definición y propiedades fundamentales de las funciones convexas están también adecuadamente tratadas en el libro de Pressini, anteriormente citado, Capítulo 2, apartado 2.3. Las notas PDFMV también pueden ser útiles para la relación entre la convexidad de una función y el carácter monótono de su vector gradiente (páginas 22 a 24).

Los apartados 2.4, 2.5 y 2.6 del libro de Peressini contienen diversas aplicaciones de las funciones convexas en el estudio de algunos problemas de minimización interesantes, que no pueden tratarse (al menos en una primera impresión) con el método de los multiplicadores de Lagrange. Asimismo se obtienen algunas desigualdades clásicas (Young, Cauchy-Schwarz, Hölder, Minkowski, etc.), de manera relativamente sencilla. La desigualdad aritmético-geométrica es especialmente interesante, por su sencillez y utilidad.

Las siguientes referencias pueden usarse para profundizar en la noción de convexidad y función convexa:

Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulos 3, 4 y 6. Para el tema de conjuntos convexos y funciones convexas, me gusta mucho este libro; la introducción de los conceptos y las demostraciones es directa y clara. No obstante, apenas contiene problemas y aplicaciones.

Jan V. Tiel: Convex Analysis, John Wiley & Sons, 1984. En mi opinión, y para el nivel de esta asignatura, éste es un libro avanzado. Es muy bueno para profundizar en la íntima relación relación que existe entre la noción de convexidad y muchos conceptos de análisis funcional (teorema de Hahn-Banach, subdiferenciabilidad, operadores monótonos, etc.).

J. L. Troutman: Variational Calculus and Optimal Control, Springer-Verlag, 1996. Este libro es muy recomendable si se quieren consultar aplicaciones de la noción de convexidad, sobre todo a problemas del cálculo de variaciones.

Capítulo III: Programación convexa.

El resultado fundamental de este capítulo es el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker-John, sobre la existencia de mínimos (globales o locales) para problemas con restricciones dadas por igualdades y desigualdades. Conviene que, al finalizar este capítulo, el alumno vuelva a leer el siguiente artículo, que lo recomendamos para el capítulo I

T. H. Kjeldsen. A Contextualized Historical analysis of the Kuhn-Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II, Historia Mathematica, Vol. 27, 2000, 331-361.

Seguro que lo entenderá mucho mejor y verá las cosas con otra perspectiva.

La versión del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker que enunciaremos y demostraremos en clase es la que aparece en el artículo de E.J. McShane: The Lagrange multiplier rule, The American Mathematical Monthly, vol. 80, 1973, 922-925. Este artículo me gustó mucho cuando lo encontré, por la profundidad y sencillez en la exposición.

Otras versiones pueden verse en el libro E. A. L. Peressini, F. E. Sullivan y J.J. Uhl, Jr. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer- Verlag, 1988. Capítulo 5, apartados 5.2 y 5.3.

Esta versión tiene ventajas e inconvenientes (como todo en la vida), pero la considero muy apropiada para este nivel. En primer lugar, la demostración de la parte suficiente del Teorema es directa, elemental y sencilla. La demostración de la parte necesaria es más dificultosa, llena de conceptos, definiciones, etc. No obstante, se aprenden cosas interesantes; destaquemos dos: la existencia de vectores subgradiente para funciones convexas (no necesariamente derivables) en puntos interiores de su dominio y la versión punto de silla del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker. Debemos destacar que para la condición suficiente de la versión del punto de silla, no necesitamos convexidad de las funciones implicadas.

El alumno debe practicar con diferentes ejemplos y ejercicios propuestos en el libro anteriormente citado. Se dará cuenta de que, a pesar de la magnitud del Teorema, su aplicación concreta no es fácil (esto no debe extrañarnos si hemos practicado suficientemente con el clásico Teorema de los multiplicadores de Lagrange).

Versiones no convexas de las condiciones necesarias se pueden ver (además de en el artículo de McShane, mencionado con anterioridad), en

Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 7, apartado 7.3.7.

La demostración de este último libro usa dos ideas y herramientas fundamentales: la linealización de las funciones dadas y teoremas de la alternativa para sistemas de ecuaciones lineales, que son interesantes por sí mismos (sobre todo por sus múltiples aplicaciones a Economía).

Los temas que expondrán los alumnos en clase (véanse un poco más arriba) completarán notablemente la información proporcionada por el Teorema de K-K-T en este capítulo.

Capítulo IV: Convexidad y cálculo de variaciones.

Páginas 1 a 35 de los apuntes PDFMV

- Enlaces a páginas relacionadas.

ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.

http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html

FÍSICA MATEMÁTICA (ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES E INTEGRALES) . Curso 2009/10. Segundo curso de la licenciatura en FÍSICA.

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen de cada capítulo (donde se incluye: conocimientos previos necesarios, resumen de los contenidos fundamentales, bibliografía recomendada, actividades complementarias y relación de ejercicios), prácticas de ordenador con el programa Mathematica, exámenes y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas.

S. Kovalevskaya $Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\fourier.jpg$ J. Fourier $Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Maxwell.jpg$ J. Maxwell $Descripción: Descripción: Descripción: E:\tony\paginaweb\iconos\Helmholtz.jpg$ H. Helmholtz

- Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.) DOC

- Resúmenes de los Capítulos:

- Capítulo I (Introducción y motivación) PDF PS También puede ser de interés la página http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html donde se muestra una amplia variedad de EDP de utilidad en Física.

- Capítulo II (La ecuación de ondas) PDF

Material complementario de este capítulo: Ondas1.nb Ondas2.nb En estos dos ejemplos se aprecian claramente la onda que se desplaza hacia la derecha, y la que se desplaza hacia la izquierda. Al superponer ambas ondas, se obtiene la solución.

Ondas3.nb Aquí se aprecian los efectos de la superposición de las ondas.

Sesión práctica sobre el problema de Cauchy para la ecuación de ondas, basada en este archivo Notebook

Sesión práctica sobre convergencia de series de Fourier, basada en este archivo Notebook

- Capítulo III (La ecuación del calor) PDF

- Capítulo IV (La ecuación del potencial) PDF

Enlaces a páginas relacionadas:

- Página de un curso que se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester. Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Página muy interesante para conceptos diversos de Física y Matemáticas.

- Página del profesor Sheldon Axler (College of Science and Engineering, San Francisco State University). Este profesor ha elaborado el paquete de Mathematica HFT.m que es de una gran utilidad en el tema de la ecuación del potencial. El paquete lo ofrece de manera gratuita en la dirección indicada.

- Exámenes : 11/06/2008 PDF PS 31/03/2009 PDF PS 02/06/2009 PDF 01/07/2009 PDF 20/04/2010 PDF 07/06/2010 PDF 14/06/2010 PDF

- Exámenes de una asignatura similar correspondiente a Ingeniería de Caminos :

21/12/2004, PDF PS

03/02/2005 . PDF PS 07/09/2005, PDF1 PDF2 PS1 PS2

03/02/2006 , PDF1 PDF2 PS1 PS2 07/09/2006, PDF1 PDF2 PS1 PS2

02/02/2007, PDF1 PDF2 PS1 PS2 05/09/2007, PDF1 PDF2 PS1 PS2

- Trabajos realizados por los alumnos. Durante el curso 2009/10, los alumnos Francisco Nogueras Lara y Francisco Rivas García elaboraron un trabajo de carácter histórico sobre la obra científica de Isaac Newton. Me lo comentaron, me pareció interesante y lo expusieron en clase. Como el contenido me impresionó muy gratamente, les propuse poner el trabajo en esta página y accedieron gustosamente. Éste es el trabajo, que en mi opinión puede ser muy útil para los estudiantes de Física y Matemáticas: PDF

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I . Curso 2008/09. Licenciatura en C. y T. Estadísticas

- Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.) DOC Por favor, préstese una atención especial al sistema de evaluación continua. Habrá exámenes parciales los días 4 de Noviembre, 2 de Diciembre y 20 de Enero, a las 9 h. Puede presentarse cualquier alumno matriculado en la asignatura.

- Exámenes: El examen extraordinario de Septiembre se celebrará el 18/09 a las 10 h. en el aula A23 de la Facultad de Ciencias.

- Información por bloques temáticos:

- Espacios vectoriales. Los conceptos fundamentales se encuentran en el capítulo I del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en entender:

Concepto de base de un espacio vectorial, y ser capaces de comprobar si determinados conjuntos son base o no de los espacios R^n. Cálculo de bases en los espacios usuales (R^n, matrices, polinomios, etc.). Espacios vectoriales "elementales" de dimensión infinita.

Concepto de coordenadas de un vector, respecto de una base dada. Cálculo de coordenadas usando diferentes bases.

Se recomiendan especialmente los ejercicios nº 7, 9, 10 y 12 de dicho capítulo.

El libro de Merino-Santos, recomendado en la bibliografía, es también de interés para esta parte.

- Matrices y aplicaciones lineales. Determinantes. Los conceptos fundamentales se encuentran en los capítulos II, III y IV del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en entender:

El uso de los determinantes y del rango de una matriz en el reconocimiento de dependencia e independencia lineal de vectores.

Cálculo de la matriz asociada a una aplicación lineal entre espacios vectoriales.

Relación entre las operaciones con matrices y las operaciones con aplicaciones lineales, con especial atención a la composición de aplicaciones lineales y aplicación lineal inversa.

Se recomiendan especialmente los ejercicios: 1, 2, 8, 9 y 10 del capítulo II del libro citado;

El libro de Merino-Santos, recomendado en la bibliografía, es también de interés para esta parte.

- Diagonalización y formas canónicas de matrices. Funciones matriciales. Los conceptos fundamentales se encuentran los capítulos VIII, IX y X del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en:

Entender adecuadamente el criterio de diagonalización de una matriz usando los valores y vectores propios de la misma. Concepto de multiplicidad algebraica y geométrica de una valor propio.

Cálculo de la forma canónica de Jordan de una matriz dada.

Aplicación de la diagonalización a la clasificación de formas cuadráticas. Descomposición de una forma cuadrática como "suma de cuadrados".

Uso de formas canónicas en el cálculo de algunas "funciones matriciales", especialmente: exponencial de una matriz y cálculo de la matriz inversa como una serie de potencias.

Se recomiendan especialmente los ejercicios 4-6 del capítulo VIII, 1, 3, 5, 9 y 10 del capítulo IX y 4 y 6 del capítulo X.

El libro de Merino-Santos, recomendado en la bibliografía, es también de interés para esta parte.

- Derivación matricial. Los conceptos fundamentales se encuentran en el capítulo V del libro de Barbolla y Sanz, recomendado en la bibliografía del curso. Debemos hacer un hincapié especial en entender:

Concepto de derivada matricial. Cálculo de derivadas matriciales.

Producto de Kronecker. propiedades básicas y relación con la derivación matricial.

Se recomiendan especialmente los ejercicios 1-4 de este capítulo, así como el estudio de los ejemplos de las páginas 193 y 202.

- Espacios métricos y espacios normados. Los conceptos fundamentales se encuentran en el libro de Brezis, recomendado en la bibliografía del curso. También puede ser de utilidad la consulta de la página docente http://euler.us.es/~renato/clases.html#clases-aa-af del profesor Renato Álvarez Nodarse, de la Universidad de Sevilla, donde se puede encontrar un resumen de los contenidos fundamentales de esta parte, adaptados a esta licenciatura , así como ejercicios, exámenes, etc.

Debemos hacer un hincapié especial en entender:

Concepto de métrica y espacio métrico. Métricas usuales en los espacios euclídeos de dimensión finita, en los espacios de funciones y en los espacios de sucesiones. Cálculo de distancias con las métricas anteriores.

Bolas abiertas y bolas cerradas. Subconjuntos abiertos y subconjuntos cerrados. Interpretación gráfica de las distancias usuales en los espacios euclídeos de dimensión finita y de la distancia uniforme en los espacios de funciones. Relación entre la distancia uniforme y las distancias L_p .

Sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy. Espacios métricos completos.

Concepto de norma y de espacios normados. Normas usuales en los espacios euclídeos de dimensión finita, en los espacios de funciones y en los espacios de sucesiones.

Normas equivalentes. Espacios normados de dimensión finita.

Aplicaciones lineales entre espacios normados. Aplicaciones lineales continuas.

- Espacios de Hilbert. Los conceptos fundamentales se encuentran en el libro de Brezis, recomendado en la bibliografía del curso. También puede ser de utilidad la consulta de la página docente http://euler.us.es/~renato/clases.html#clases-aa-af del profesor Renato Álvarez Nodarse, de la Universidad de Sevilla, donde se puede encontrar un resumen de los contenidos fundamentales de esta parte, adaptados a esta licenciatura , así como ejercicios, exámenes, etc.

Debemos hacer un hincapié especial en entender:

Concepto de producto escalar. Normas y métricas derivadas de un producto escalar.

El espacio de Hilbert L^2 (a,b). Familiarización con los conceptos fundamentales derivados de la convergencia.

Concepto de base hilbertiana en espacios de Hilbert separables de dimensión infinita. Bases de Fourier.

- Exámenes del curso 2008/09. 04/11/08 PDF 02/12/08 PDF 20/01/2009 PDF 09/02/2009 PDF

- Exámenes de cursos anteriores. 03/12/07 PDF1 PS1 PDF2 PS2 21/01/08 PDF PS 04/02/08 PDF PS

Otros exámenes PDF

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES . Cursos 2004/05 a 2006/07. Tercer curso de ICCP (CAMINOS)

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen de cada capítulo (donde se incluye: conocimientos previos necesarios, resumen de los contenidos fundamentales, bibliografía recomendada, actividades complementarias y relación de ejercicios), prácticas de ordenador con el programa Mathematica, exámenes propuestos con anterioridad y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas.

J. Fourier J. Maxwell H. Helmholtz S. Kovalevskaya

- Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.) DOC

- Información por Capítulos:

- Capítulo I (Introducción y motivación) PDF

- Capítulo II (La ecuación de ondas). PDF

Material complementario de este capítulo para visualizar la propagación y superposición de las ondas así como que las perturbaciones sobre las condiciones iniciales se propagan con velocidad finita Ondas1.nb Ondas2.nb Ondas3.nb Véase también la práctica realizada 02/11/2005.

- Capítulo III (La ecuación del calor) PDF

- Capítulo IV (La ecuación del potencial. Cálculo de Variaciones ) PDF

- Prácticas de cursos anteriores con el programa Mathematica.

2 de Noviembre de 2005. El problema de Cauchy para la ecuación de ondas. Notebook

14 de Diciembre de 2005. La ecuación del calor. Notebook

11 de Enero de 2006. La ecuación del potencial. Notebook.

20 de Octubre 2004. Convergencia de Series de Fourier (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs). Notebook

10 de Noviembre 2004. La ecuación de ondas (Problema de valores iniciales o de Cauchy). Notebook

15 de Diciembre 2004. La ecuación del calor (comportamiento asintótico de la solución). Notebook

26 de Enero 2005. La ecuación del potencial (cálculo de soluciones, principio del máximo-mínimo). Notebook

- Exámenes ya realizados : 21/12/2004, PDF

03/02/2005 . PDF 07/09/2005, PDF1 PDF2

03/02/2006 , PDF1 PDF2 07/09/2006, PDF1 PDF2

02/02/2007, PDF1 PDF2 05/09/2007, PDF1 PDF2

Enlaces a páginas relacionadas:

- Página de un curso que se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester. Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- Página del profesor Sheldon Axler (College of Science and Engineering, San Francisco State University). Este profesor ha elaborado el paquete de Mathematica HFT.m que es de una gran utilidad en el tema de ecuaciones elípticas. El paquete lo ofrece de manera gratuita en la dirección indicada.

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES . Cursos 2003/04 a 2006/07. Cuarto curso de Matemáticas

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen de cada capítulo (donde se incluye: conocimientos previos necesarios, resumen de los contenidos fundamentales, bibliografía recomendada, actividades complementarias y relación de ejercicios), prácticas de ordenador con el programa Mathematica, exámenes propuestos con anterioridad y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas.

S. Kovalevskaya...J. Fourier L. Dirichlet D. Hilbert

- Información general (programa, bibliografía, evaluación, etc.) PDF

- Información por Capítulos.

- Capítulo I (Introducción) PDF

- Capítulo II (Problemas de tipo mixto) PDF

- Capítulo III (Problemas de contorno) PDF

- Capítulo IV (El problema de Cauchy) PDF

- Prácticas programadas:

- 26 de Marzo de 2007 (9 de la mañana, aula C-31). Comportamiento asintótico de las soluciones de problemas de tipo mixto para la ecuación del calor. Notebook

- 17 de Abril de 2007 (9 de la mañana, aula C-31) Comportamiento asintótico de las soluciones de problemas de tipo mixto para la ecuación de ondas. Notebook

- 17 de Mayo de 2007 (9 de la mañana, aula C-31). El problema de Dirichlet en rectángulos de dimensión dos. Notebook

Práctica complementaria para disfrutar en casa: El problema de Dirichlet en la bola unidad del espacio euclídeo n-dimensional. Notebook Archivo HFT.m

Enlaces a páginas relacionadas con la asignatura:

- Eric W. Weisstein. Partial Differential Equation. Esta página es muy útil para consultar conceptos muy diversos de EDP (origen de las ecuaciones, tipos de ecuaciones, resultados principales, etc.).

- Página de un curso se imparte en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester. Son también útiles los cursos ME223 (calor) y ME443 (vibraciones).

- Página del profesor Sheldon Axler (College of Science and Engineering, San Francisco State University). Este profesor ha elaborado el paquete de Mathematica HFT.m que es de una gran utilidad en el tema de ecuaciones elípticas. El paquete lo ofrece de manera gratuita en la dirección indicada.

- Prácticas de cursos anteriores.

- Curso 2005/06.

- 16 de Marzo de 2006. Convergencia de Series de Fourier (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Sumas de Fejér). Notebook (Mathematica 4.1), Notebook (Mathematica 3.0)

- 27 de Abril de 2006. Comportamiento asintótico de las soluciones de problemas de tipo mixto para las ecuaciones del calor y de ondas. Notebook

- 1 de Junio de 2006. Problemas de contorno para ecuaciones elípticas.

El problema de Dirichlet en la bola unidad del espacio euclídeo n-dimensional. Notebook Archivo HFT.m

El problema de Dirichlet en rectángulos de dimensión dos. Notebook

- Curso 2004/05. Convergencia de series de Fourier, La ecuación del calor (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Problemas de tipo mixto para la ecuación del calor) Notebook

Enlaces a páginas relacionadas con esta práctica http://scienceworld.wolfram.com/biography/Gibbs.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gibbs.html

http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html

- Curso 2004/05. Problemas de contorno para ecuaciones elípticas. Notebook

Otras prácticas de interés para ecuaciones elípticas. Notebook

- Curso 2003/04. Convergencia de Series de Fourier (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Sumas de Fejér). Notebook (Mathematica 4.1), Notebook (Mathematica 3.0)

- Curso 2003/04. Ecuación del calor (regularidad de la solución, comportamiento asintótico, principio del máximo mínimo). Notebook (Mathematica 4.1)

- Curso 2003/04. El Problema de Dirichlet (Cálculo explícito de la solución para datos polinomiales, principio del máximo mínimo, dependencia continua respecto de los datos de contorno). Notebook (Mathematica 4.1)

- Exámenes ya realizados: 18/06/2004 PDF 16/09/2004 PDF

26/04/2005 PDF 25/06/2005 PDF1 PDF2

22/09/2005 PDF1 PDF2

25/04/2006 PDF 28/06/2006 PDF

20/09/2006 PDF 02/05/2007 PDF

15/06/2007 PDF 14/09/2007 PDF

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ANÁLISIS VECTORIAL Curso 2019/20.

.................................

J.C.F. Gauss(1777-1855) ...............................G. Green(1793-1841).........................G.G. Stokes (1819-1903)

Guía docente PDF

Aclaraciones sobre la bibliografía fundamental recomendada en la guía docente:

.................................................... - Sobre el libro de texto: Lang, Serge. Calculus of several variables, Third edition, Springer, 1987. El contenido de la asignatura se corresponde con los capítulos VII (Potential Functions), VIII (Curve integrals), X (Green's Theorem) y XII (Surface integrals).

.....................................................- Sobre el libro de texto: Marsden, J.E. y Tromba, A.J., Cálculo Vectorial, Pearson Education, 2004. El contenido de la asignatura se corresponde con los Capítulos 3 (Funciones con valores vectoriales), 7 (Integrales sobre trayectorias y superficies) y 8 (Teoremas integrales del Análisis Vectorial).

Avisos: - El alumno dispone de material adicional en la plataforma PRADO (Tema1, Tema2,...), así como diferente material gráfico (curvas, superficies, teorema de Green, teorema de la divergencia, etc.), que puede ayudar a entender mejor los resultados abstractos de la asignatura.

Hasta hoy, 3 de Octubre:

................................................Tema 1: Guía docente completa de la asignatura

.................................................Tema 2: Página web de la asignatura

.................................................Tema 3: Resumen ilustrado de la asignatura, que se impartió durante los tres primeros días de clase

.................................................Tema 4: Demostración de algunos resultados teóricos ( independencia del camino de integración implica campo conservativo, comparación teorema de Green-teorema de la .................................................divergencia, demostración detallada teorema de Stokes, ley de Gauss para campos electrostáticos y gravitacionales)

.................................................Tema 5: Ilustraciones de diversos resultados teóricos (Rotación de un fluido en un sumidero, Teorema de Green, polares, esféricas, cilíndricas, algunas superficies

..................................................plano tangente, Integrales de superficies, Stokes resumen, Stokes ejercicios)

Pruebas parciales para la evaluación continua: 30/Octubre/2019, 13-14.30, Aula A12; .....19/Diciembre/2019, 13-14.30, Aula A12

Convocatoria ordinaria (primer semestre): 20/Enero/2020, 16 h. Aula: F01. Convocatoria

Convocatoria extraordinaria (primer semestre): 7/Febrero/2020, 10 h. Aula: A14. Convocatoria

Complementos y enlaces a páginas relacionadas

Ley de Gauss con aplicaciones a campos electrostáticos y gravitacionales.

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Fundamentos_matem%C3%A1ticosHace poco (hoy es 24 de octubre de 2019) he encontrado esta página, que me ha sorprendido gratamente por la claridad con la que se exponen los conceptos matemáticos de nuestro curso desde el punto de vista de la Física. Creo que es un buen material complementario para nuestra asignatura.

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx Esta página es válida para toda la asignatura. Las notas están muy bien ilustradas, lo que ayuda mucho a entender los principales resultados teóricos del curso.

https://christopherpruitt.files.wordpress.com/2015/01/a-history-of-the-divergence-greens-and-stokes-theorems.pdf Artículo de carácter histórico que ofrece una perspectiva muy interesante de los teoremas citados, así como de las relaciones entre ellos.

http://www.ugr.es/~rpaya/cursosanteriores.htm (Asignatura: Fundamentos Matemáticos I).

http://www.ugr.es/~fjperez/apuntes.html (Asignatura: Cálculo Vectorial. Series de Fourier.Teorema de los Residuos)

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/index.htm

Algunos enlaces bonitos al Teorema de Green:

http://www.theoremoftheday.org/MathPhysics/Green/TotDGreen.pdf

https://mathinsight.org/greens_theorem_idea

Otro enlace bonito sobre curvas y superficies: .....3DXM Virtual Math Museum

Exámenes 3/11/ 2017 PDF .....19/12/ 2017 PDF...... 22/12/ 2017 PDF .......25/01/2018 PDF ...........25/01/2018 (matrícula de honor) PDF .....13/02/2018 PDF

.....................17/10/2018 PDF ..... 21/11/2018 PDF .....19/12/2018 PDF.....17/01/2019 PDF ..... 07/02/2019 PDF .....30/10/2019 PDF .....19/12/2019 PDF

.......................16/01/2020 (matrícula de honor) PDF..... 20/01/2020 PDF.....07/02/2020 PDF

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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES . Curso 2019/20. Cuarto curso del Grado en Matemáticas

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, material docente para todo el programa (donde se incluye: conocimientos previos necesarios por apartados, resumen de los contenidos fundamentales, bibliografía recomendada, actividades complementarias y relación de ejercicios), exámenes propuestos con anterioridad y finalmente algunos enlaces a páginas relacionadas.

S. Kovalevskaya.J. Fourier L. Dirichlet D. Hilbert Laplace

"El estudio profundo de la naturaleza es la mina más fértil de los descubrimientos matemáticos" (Jean-Baptiste Joseph Fourier)

- AVISO IMPORTANTE: Mientras dure esta situación excepcional, sin clases presenciales desde el 16/03/2020, se recomienda al alumno la visita frecuente de la plataforma PRADO y el uso de la plataforma go.ugr.es, apartado Drive, donde estamos intentando que la docencia continúe de forma virtual, a través de propuesta de ejercicios, sugerencias y soluciones completas de los mismos, avance de los contenidos teóricos con las ideas más importantes, vídeos directamente relacionados con la asignatura, vídeos propios, otras actividades recomendadas, etc. Las soluciones dadas por los alumnos a los ejercicios, trabajos, etc. se mandarán al profesor a través de email (acanada@ugr.es ) o a través de la plataforma PRADO.

Las tutorías y dudas se resolverán a través de email, con horario de 11 a 14 y de 17 a 20, de lunes a viernes (en la práctica, el horario es abierto)

En este momento, los alumnos deben consultar frecuentemente esta página web y sobre todo la plataforma PRADO, para, dentro de las limitaciones, continuar adquiriendo adecuadamente los contenidos de la asignatura.

- Trabajo online propuesto a través de PRADO: las soluciones de los trabajos, se encontrarán también en PRADO a medida que se vayan cumpliendo los plazos de entrega.

- 16 Marzo 2020: PDF (Ejercicios sobre la ecuación de ondas) ... Soluciones 1...2...3...4...5...6

- 30 Marzo 2020: PDF (Trabajo voluntario I: bases de Hamel, bases hilbertianas y desarrollos de Fourier) ... Soluciones PDF

- 14 Abril 2020: PDF (Principio del máximo-mínimo para la ecuación del calor. Teoría y ejercicios). "Fascículo masticable" ... Soluciones PDF

- 27 Abril 2020: PDF (Problemas de tipo mixto para la ecuación del calor. Teoría y ejercicios). "Fascículo masticable"... Soluciones PDF

- 8 Mayo 2020: PDF (Trabajo voluntario II: sobre la relación entre máximos, crecimiento, decrecimiento de funciones...) ... Soluciones PDF

- 12 Mayo 2020: PDF (Ecuaciones de Laplace y Poisson). "Fascículo masticable" ... Soluciones PDF

- En Drive se pueden ver tres vídeos "caseros" realizados por mí: problemas de tipo mixto para la ecuación del calor; máximos de una función y monotonía de la función derivada; soluciones radiales de la ecuación de Laplace. Si alguien está interesado en tenerlos, puede solicitarlos a la dirección: acanada@ugr.es

- Información general Guía docente:( programa, bibliografía, evaluación, etc.) PDF.....Adenda de la Guía docente PDF

- Pruebas parciales para la evaluación continua: 03/04/2020. Suspendida (véase la adenda anterior)

...............................................................................................22/05/2020. Suspendida (véase la adenda anterior)

- Convocatoria ordinaria (segundo semestre): 8/06/2020, de 16 h. a 20 h. En el apartado "Tareas" de PRADO.

- Convocatoria extraordinaria (segundo semestre): 20/07/2020, de 16 h. a 20 h. En el apartado "Tareas" de PRADO.

- Material docente :

- Capítulo I (Introducción y motivación) PDF ........También puede ser de interés la página http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html

- Capítulo II (La ecuación de ondas) PDF Triángulo característico PDF

- Capítulo III (La ecuación del calor) PDF Principio del máximo-mínimo .............P. Cauchy:unicidad de soluciones acotadas

.................- Capítulo IV (Las ecuaciones de Laplace y Poisson) PDF.............Laplaciano en coordenadas polares.. PDF..... Fórmula de Poisson en dimensión dos..PDF

.....................Soluciones radiales de la E. Laplace PDF ......Propiedad del valor medio para funciones armónicas PDF

....................Series de Fourier y Aplicaciones... (válido para problemas de tipo mixto para la ecuación del calor y la ecuación de ondas, así como para resultados previos de Series de Fourier).

Enlaces a páginas relacionadas con la asignatura:

- Página de un curso ( ME 201/MTH 281/ME 400/CHE 400) que impartió el profesor Alfred Clark, Jr. en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Rochester. Ejemplos y animaciones muy buenas, realizadas con el programa MATHEMATICA. Son también útiles los cursos ME223 (ecuación del calor) y ME443 (vibraciones).

- The MacTutor History of Mathematics archive. Página muy completa e interesante sobre Historia de las Matemáticas. Es muy útil para entender la evolución de la teoría de EDP, así como para conocer losMatemáticos que han intervenido de manera fundamental en esta materia a lo largo de la historia.

- Página de un curso que se imparte en el MIT, .....https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-152-introduction-to-partial-differential-equations-fall-2011/lecture-notes/

-Página del profesor Sheldon Axler: http://www.axler.net/HFT.pdf ..........http://www.axler.net/HFT_Math.html.....Enlaces muy útiles para la teoría de funciones armónicas.

- Exámenes ......................... 18/06/2004 PDF 16/09/2004 PDF 26/04/2005 PDF 25/06/2005 PDF1 PDF2 22/09/2005 PDF1 PDF2

25/04/2006 PDF 28/06/2006 PDF 20/09/2006 PDF 02/05/2007 PDF 15/06/2007 PDF 14/09/2007 PDF

13/04/2018 PDF Soluciones PDF ..........25/05/2018 PDF .....Soluciones PDF .......... 15/06/2018 PDF ..... Soluciones PDF ......05/04/2019 PDF

..............................................31/05/2019 PDF ......18/06/2019 PDF ......10/07/2019 PDF ......08/06/2020 PDF

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SEMINARIO DE HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. Cursos 2004/05 a 2006/07. Optativa de segundo ciclo de Matemáticas.

G. Cantor J. Fourier H. Lebesgue

Aquí encontrarás: Información general de la asignatura, resumen del módulo C, prácticas de ordenador con el programa Mathematica, enlaces a páginas relacionadas y algunos trabajos realizados por los alumnos en cursos anteriores.

- Temas propuestos para el curso 2006/07 PDF

- Contenidos fundamentales del módulo C: Series de Fourier y su papel en el desarrollo del Análisis Matemático. PDF

Material complementario de cursos anteriores PDF PS

- Prácticas con el programa Mathematica.

Convergencia de Series de Fourier (Criterio de Dini. Fenómeno de Gibbs. Sumas de Fejér). Notebook (Mathematica 4.1), Notebook (Mathematica 3.0)

- Enlaces a páginas relacionadas:

The MacTutor History of Mathematics archive

Página de Historia de la Matemática de la R.S.M.E.

- Trabajos de cursos anteriores:

Oscar Cortadellas Izquierdo (curso 2004/05): "Series de Taylor y series de Fourier". Me gustó mucho este trabajo cuando lo leí; es ameno y con contenido matemático apropiado. Oscar me ha permitido ponerlo en esta página. PDF

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CÁLCULO DE VARIACIONES Y OPTIMIZACIÓN. Curso 2015/16. Programa de Posgrado en Física y Matemáticas, Fisymat.

AVISO: El curso se impartirá todos los jueves lectivos, de 12.30 h. a 14.30 h, en la sala de conferencias (planta baja de la sección de Matemáticas), a partir del jueves 28 de enero de 2016.

- Información general del curso (programa, bibliografía, evaluación, etc.) Curso número 10 en la página http://www.ugr.es/~fisymat/master/informacioncursos.htm

- Material docente ( Parte impartida por Antonio Cañada, 2015/16).

Nociones generales de Cálculo de Variaciones: PDF Cálculo de Variaciones y Desigualdades de Lyapunov: PDF

Introducción al análisis no lineal con aplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales PDF Funciones convexas PDF

- Algunos temas propuestos para entregar al profesor durante el curso 2015/16

- Unicidad de la derivada de Fréchet.

- Relación entre la convexidad de una función y el carácter monótono de la derivada primera.

- Relación entre la convexidad de una función y la propiedad de que la derivada segunda sea semidefinida positiva.

- Parte positiva de una función, en relación con las propiedades de regularidad.

- Ecuación de Euler-Lagrange para problemas condicionados.

- Ecuación de Euler-Lagrange con algún extremo libre.

- Algunas propiedades adicionales de la Braquistocrona.

- Contextualización histórica:

Sobre el nacimiento del cálculo de variaciones y cuestiones relacionadas con la ecuación de Euler-Lagrange, pueden consultarse:

- M. Kline, Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1.972. Capítulo 24.

- E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 7, 1994, 674-678

E. Kreyszig, On the Calculus of Variations and its Major Influences on the Mathematics of the First Half of Our Century, Part I. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 9, 1994,902-908

Los dos últimos son artículos cortos, pero se reflejan de manera precisa y clara las ideas fundamentales del cálculo de variaciones, desde sus orígenes (Johann Bernoulli y el problema de la braquistocrona) hasta el llamado cálculo de variaciones global (teoría de Morse), pasando por algunas ideas fundamentales del análisis funcional.

Sobre los orígenes históricos de la programación lineal y no lineal, así como sobre el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker, puede consultarse el artículo:

T. H. Kjeldsen. A Contextualized Historical analysis of the Kuhn-Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II, historia Mathematica, Vol. 27, 2000, 331-361.

- El Teorema de Karush-Kuhn-Tucker-John:

El Teorema de Karush-Kuhn-Tucker-John se refiere se refiere a las condiciones necesarias que han de satisfacer los mínimos (globales o locales) de problemas de optimización, donde aparecen restricciones dadas por igualdades y por desigualdades. En ambientes de convexidad, estas condiciones son también suficientes. Este Teorema es una generalización importante del clásico Teorema de los multiplicadores de Lagrange.

La versión del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker que enunciaremos y demostraremos en clase es la que aparece en el artículo de E.J. McShane: The Lagrange multiplier rule, The American Mathematical Monthly, vol. 80, 1973, 922-925. Este artículo me gustó mucho cuando lo leí, por la profundidad y sencillez en la exposición.

Otras versiones pueden verse en el libro E. A. L. Peressini, F. E. Sullivan y J.J. Uhl, Jr. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer- Verlag, 1988. Capítulo 5, apartados 5.2 y 5.3.

Esta versión tiene ventajas e inconvenientes (como todo en la vida). En primer lugar, la demostración de la parte suficiente del Teorema es directa, elemental y sencilla. La demostración de la parte necesaria es más dificultosa, llena de conceptos, definiciones, etc. No obstante, se aprenden cosas interesantes; destaquemos dos: la existencia de vectores subgradiente para funciones convexas (no necesariamente derivables) en puntos interiores de su dominio y la versión punto de silla del Teorema de Karush-Kuhn-Tucker. Debemos destacar que para la condición suficiente de la versión del punto de silla, no necesitamos convexidad de las funciones implicadas.

El principal inconveniente que tiene el Teorema del libro de Peressini y otros es que para obtener las condiciones necesarias se imponen hipótesis de convexidad, tanto sobre la función a minimizar como sobre las restricciones dadas por desigualdades. Versiones no convexas de las condiciones necesarias se pueden ver (además de en el artículo de McShane, mencionado con anterioridad), en Olvi L. Mangasarian: Nonlinear Programming, SIAM, 1.994. Capítulo 7, apartado 7.3.7.

- Enlaces a páginas relacionadas:

ERIC WEISSTEIN'S world of Mathematics. Página muy útil para consultar temas muy diversos relacionados con los conceptos del curso.

http://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusofVariations.html

ERIC WEISSTEIN'S world of Physics. Similar a la anterior, pero sobre temas de Física

http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/LagrangianMechanics.html

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