3.3 Radios de las órbitas

Primero calculamos la velocidad

$$v=\frac{n\hbar}{mr}=\frac{n\hbar}{m}\frac{KZe^2m}{n^2\hbar^2} =\frac{ZKe^2}{n\hbar} = \frac{Z}{n}\alpha c$$ (19)

La energía de la órbita es $E=T+V$, donde la energía cinética es

$$T= \frac12 mv^2 = \frac12m\left(\frac{ZKe^2}{n\hbar}\right)= \frac12m \alpha^2 c^2 \frac{Z^2}{n^2} =$$ (20)

y la energía potencial

$$V=-\frac{KZe^2}{r} = -KZe^2\frac{KZe^2 m}{n^2\hbar^2} =-m\left(\frac{ZKe^2}{n\hbar}\right) =-2T$$ (21)

Por lo tanto la energía total

$$E= T-2T = -T = -\frac{\alpha^2 mc^2}{2} \frac{Z^2}{n^2} = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \rm eV$$ (22)

Ejercicio. Calcular la energía de la primera órbita en el átomo de H

Solución. Para el H, $Z=1$. Para la primera órbita, $n=1$

$$E=-\frac12\alpha^2 mc^2 = -\frac{511000 \rm eV}{2\times (137)^2} = -13.6 \rm eV$$ (23)