Solución

Obviamente $C$ ya es invariante bajo el subgrupo de rotaciones y basta imponer que conmute con el generador de los boosts, $\vec K$ . Las relaciones de conmutación son (unidades $\hbar=c=1$ ):

$$[J_i,J_j]= i\epsilon_{ijk}J_k\,,\qquad [K_i,J_j]= i\epsilon_{ijk}K_k\,,\qquad [K_i,K_j]=-i\epsilon_{ijk}J_k\,.$$ (1.51)

que también pueden escribirse

$$\vec J\times\vec J=i\vec J\,,\quad \vec K\times\vec J+\vec J\times\vec K=2i\vec K\,,\quad \vec K\times\vec K=-i\vec J \,.$$ (1.52)

Usando la identidad

$$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$$ (1.53)

se obtiene inmediatamente

$${[\vec{K},\vec{J}\,{}^2]} = -i \vec K\times\vec J+i\vec J\times\vec K \,,$$

$${[\vec{K},\vec{K}^2]} = i \vec J\times\vec K-i\vec K\times\vec J \,,$$

$${[{\vec K},{\vec J}\vec{K}]} = i \vec K\times\vec K +i\vec J\times\vec J =0\,.$$ (1.54)

De aquí se ve que hay dos combinaciones invariantes Lorentz linealmente independientes

$$C_1= \vec{J\,}^2-\vec{K}^2 \,,\qquad C_2=\vec{J}\vec{K}=\vec{K}\vec{J\,} \,.$$ (1.55)

(La última igualdad se deduce de las relaciones de conmutación, aunque $\vec{J\,}$ y $\vec{K}$ no conmuten.)

Otra forma alternativa de llegar a este resultado es notar que los operadores

$$\vec J_R=\frac{1}{2}(\vec J+i\vec K) \,,\quad \vec J_L=\frac{1}{2}(\vec J-i\vec K) \,,\quad$$ (1.56)

cumplen las relaciones de conmutación de SU(2)$\times$ SU(2)

$$\vec J_R\times\vec J_R=i\vec J_R\,,\quad \vec J_L\times\vec J_L=i\vec J_L\,,\quad [\vec{J}_R, \vec{J}_L]=0 \,.$$ (1.57)

Por tanto, los dos operadores

$$\vec{J}_R^2=\frac{1}{4}C_1+\frac{i}{2}C_2 \,,\quad \vec{J}_L^2=\frac{1}{4}C_1-\frac{i}{2}C_2 \,,\quad$$ (1.58)

son invariantes Lorentz.

Una tercera forma de hacerlo es escribir los operadores $\vec{J}\,^2$ , $\vec{K}^2$ y $\vec{J}\vec{K}$ usando la notación covariante $J^{\mu\nu}$ y combinarlos para formar un escalar.

Usamos las relaciones (métrica $(-1,+1,+1,+1)$ )

$$J_i=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}J^{jk}\,, \qquad K_i=J^{i0} \,,\qquad J^{\mu\nu}= -J^{\nu\mu}$$ (1.59)

y la relación

$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{i\ell m}= \delta_{j\ell}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{k\ell} \,.$$ (1.60)

Para $\vec{J}\,^2$ resulta

$$\vec{J}\,^2= J_iJ_i=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}J^{jk} \frac{1}{2}\epsilon_{i\ell m}J^{\ell m} = \frac{1}{2}(J^{ij})^2 = \frac{1}{2}J_{ij}J^{ij} \,.$$ (1.61)

Para $\vec{K}^2$

$$\vec{K}^2= J^{i0} J^{i0} =-J_{i0} J^{i0} = -\frac{1}{2}(J_{i0} J^{i0} +J_{0i} J^{0i} ) \,.$$ (1.62)

Combinando ambos resultados

$$\vec{J}\,^2-\vec{K}^2 = \frac{1}{2}J_{\mu\nu}J^{\mu\nu} \,.$$ (1.63)

Para $\vec{J}\vec{K}$

$$\vec{J}\vec{K}= J_iK_i= \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}J^{jk} J^{i0}$$ (1.64)

Como $\vec{J}\vec{K}=\vec{K}\vec{J\,}$ , también puede escribirse

$$\vec{J}\vec{K}= \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}J^{i0}J^{jk}$$ (1.65)

Utilizando el tensor de Levi-Civita, $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$ , completamente antisimétrico e invariante bajo transformaciones Lorentz propias, con el convenio (notar que $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}=-\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$ )

$$\epsilon_{0ijk}=\epsilon_{ijk}$$ (1.66)

se tiene finalmente

$$\vec{J}\vec{K}= -\frac{1}{4}\epsilon_{0ijk}(J^{0i}J^{jk}+J^{jk}J^{0i} ) = -\frac{1}{8}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}J^{\mu\nu} J^{\alpha\beta} \,.$$ (1.67)