Solución

a) Necesitamos el lagrangiano y la ecuación de movimiento:

$$L= \frac{1}{2}m\dot{{\boldsymbol{x}}}^2+\frac{1}{2}m\omega^2{{\bo... ...mbol{x}}}^2 \,, \quad m\ddot{{\boldsymbol{x}}}= -m\omega^2{{\boldsymbol{x}}}\,,$$ (3.12)

con solución (trayectoria clásica):

$${{\boldsymbol{x}}}(t) = {{\boldsymbol{A}}}\cos(\omega t)+{{\boldsymbol{B}}}\sen(\omega t)$$ (3.13)

$$\dot{{\boldsymbol{x}}}(t) = -\omega{{\boldsymbol{A}}}\sen(\omega t)+\omega{{\boldsymbol{B}}}\cos(\omega t)$$ (3.14)

donde ${{\boldsymbol{A}}}$ y ${{\boldsymbol{B}}}$ son dos constantes. Ahora podemos evaluar la acción sobre la trayectoria clásica:

$$S_c= \int_{t_a}^{t_b} dt\,L = \int_{t_a}^{t_b} dt\left( \frac{d}{... ...ol{x}}}\ddot{{\boldsymbol{x}}}-\frac{1}{2}m\omega^2{{\boldsymbol{x}}}^2 \right)$$ (3.15)

aunque no es imprescindible, hemos integrado por partes la energía cinética, ya que de este modo los dos últimos sumandos se anulan por la ecuación de movimiento

$$S_c = \frac{1}{2}m({{\boldsymbol{x}}}_b\dot{{\boldsymbol{x}}}_b-{{\boldsymbol{x}}}_a\dot{{\boldsymbol{x}}}_a) \,.$$ (3.16)

Se trata ahora de expresar este resultado en términos de las posiciones y tiempos inicial y final. Aunque se puede hacer en general, por invariancia bajo traslaciones temporales (sistema conservativo) todo depende sólo de $T=t_b-t_a$ , y elegimos el origen de tiempos de modo que $t_a=0$ . En este caso

$${{\boldsymbol{x}}}_a={{\boldsymbol{x}}}(0)={{\boldsymbol{A}}}\,,\... ... T)+{{\boldsymbol{B}}}\sen(\omega T) := {{\boldsymbol{A}}}c+{{\boldsymbol{B}}}s$$ (3.17)

de aquí

$${{\boldsymbol{A}}}={{\boldsymbol{x}}}_a\,,\qquad {{\boldsymbol{B}}}=\frac{1}{s}({{\boldsymbol{x}}}_b-c{{\boldsymbol{x}}}_a)$$ (3.18)

sustituyendo en la expresión para $\dot{{\boldsymbol{x}}}$

$$\dot{{\boldsymbol{x}}}_a=\frac{\omega}{s}({{\boldsymbol{x}}}_b-c{... ...symbol{x}}}_b=-\frac{\omega}{s}({{\boldsymbol{x}}}_a-c{{\boldsymbol{x}}}_b) \,.$$ (3.19)

(Como debe ser, las ecuaciones son simétricas bajo el intercambio simultáneo de $a$ y $b$ y $T\to -T$ .) Finalmente,

$$S_c({{\boldsymbol{x}}}_b,t_b;{{\boldsymbol{x}}}_a,t_a) = \frac{m\omega}{2s}((c{{\boldsymbol{x}}}_b^2-{{\boldsymbol{x}}}_a{... ...ol{x}}}_b) -({{\boldsymbol{x}}}_a{{\boldsymbol{x}}}_b-c{{\boldsymbol{x}}}_a^2))$$

$$= \frac{m\omega}{2\sen(\omega(t_b-t_a))}\left(\cos(\omega(t_b-t_a))... ...^2+{{\boldsymbol{x}}}_b^2)-2{{\boldsymbol{x}}}_a{{\boldsymbol{x}}}_b\right) \,.$$ (3.20)

b) En tiempo imaginario, $\tau=i t$ , el propagador vale

$$G_E(x,y,\tau)= \left(\frac{m\omega}{2\pi \hbar\senh(\hbar \omega ... ...senh(\hbar\omega\tau)} \left(\cosh(\hbar\omega\tau)(x^2+y^2)-2xy\right) \right]$$ (3.21)

o en unidades $\hbar=m=\omega=1$

$$G_E(x,y,\tau)= \left(2\pi\senh \tau\right)^{-1/2} \exp\left[ -\frac{1}{2\senh\tau} \left(\cosh\tau (x^2+y^2)-2xy\right) \right] \,.$$ (3.22)

Para tiempos grandes, el propagador euclídeo está dominado por los estados más bajos. Con el fin de seleccionar el primer estado excitado tomamos la parte impar en $x$ del propagador; esto elimina el estado fundamental que es par:

$$\frac{1}{2}(G_E(x,y,\tau)- G_E(-x,y,\tau))= (2\pi s)^{-1/2} \senh(xy/s) e^{-(c/2s) (x^2+y^2)}$$ (3.23)

( $c:=\cosh\tau$ , $s:=\senh\tau$ ). En el límite de $\tau$ grande

$$\frac{\cosh\tau}{\senh\tau}=1+O(e^{-2\tau}) \,,\qquad \frac{1}{\senh\tau}=2e^{-\tau}(1+O(e^{-\tau})) \,,\qquad$$ (3.24)

$$\frac{1}{2}(G_E(x,y,\tau)- G_E(-x,y,\tau)) = \pi^{-1/2} e^{-\tau/2} 2xye^{-\tau} e^{- (x^2+y^2)/2} (1+O(e^{-\tau}))$$

$$\approx e^{-3/2\tau}\pi^{-1/2}2xye^{- (x^2+y^2)/2}$$ (3.25)

(en realidad la corrección no es $(1+O(e^{-\tau}))$ sino $(1+O(e^{-2\tau}))$ ya que el siguiente estado impar tiene energía dos unidades mayor). Comparando con la expresión

$$\frac{1}{2}(G_E(x,y,\tau)- G_E(-x,y,\tau)) = \sum_{n(\text{impar})} e^{-\tau E_n}\varphi_n(x)\varphi_n^*(y)$$

$$\approx e^{-\tau E_1}\varphi_1(x)\varphi_1^*(y)$$ (3.26)

se deduce

$$E_1 = \frac{3}{2}=\frac{3}{2}\hbar\omega \,,\qquad$$ (3.27)

$$\varphi_1(x) = \pi^{-1/4}\sqrt{2}xe^{- x^2/2} = \pi^{-1/4}\sqrt{2}\left(\frac{m\omega}{\hbar}\right)^{3/4} xe^{-m\omega x^2/2\hbar} \,.$$ (3.28)