Solución

Procedemos como para la integral de caminos usual (esto es, sin inserción). $t_j=t_i+j\epsilon$ , $\epsilon=(t_f-t_i)/N$ . Si la inserción ocurre en tiempo $t_j$ tendremos

$$\langle {{\boldsymbol{x}}}_f\vert U(t_f,t) {{\boldsymbol{p}}}U(t,... ...ldsymbol{p}}}U(t_j,t_{j-1}) \cdots U(t_1,t_i) \vert {{\boldsymbol{x}}}_i\rangle$$ (3.31)

entre cada dos operadores de evolución insertamos la identidad en representación de posiciones. Así delante (a la izquierda) de $U(t_{j+1},t_j)$ y delante de $U(t_j,t_{j-1})$ ponemos, respectivamente,

$$1=\int d^Dx_{j+1}\vert{{\boldsymbol{x}}}_{j+1}\rangle\langle{{\bo... ...\int d^Dx_j\vert{{\boldsymbol{x}}}_j\rangle\langle{{\boldsymbol{x}}}_j\vert \,.$$ (3.32)

Aparece el elemento de matriz

$$\langle{{\boldsymbol{x}}}_{j+1}\vert e^{-\frac{i\epsilon}{\hbar}H... ...ldsymbol{p}}}_j \langle{{\boldsymbol{p}}}_j\vert{{\boldsymbol{x}}}_j\rangle \,.$$ (3.33)

Como siempre, salvo órdenes superiores en $\epsilon$ , el operador de evolución se puede simplificar

$$\langle{{\boldsymbol{x}}}_{j+1}\vert e^{-\frac{i\epsilon}{\hbar}H... ...{x}}}_{j+1}-{{\boldsymbol{x}}}_j){{\boldsymbol{p}}}_j} {{\boldsymbol{p}}}_j \,.$$ (3.34)

Esta fórmula es como la de integral de caminos en el espacio de las fases, excepto que la inserción del operador ${{\boldsymbol{p}}}$ en $t$ implica añadir un factor ${{\boldsymbol{p}}}_j$ en la integral. Para ir a la integral de caminos en espacio de configuración falta integrar sobre los momentos. Lo mejor es usar tiempo imaginario y luego rotar a tiempo real, $\Delta\tau=i\epsilon>0$ . La integral es del tipo

$$\int\frac{d^D{{\boldsymbol{p}}}}{(2\pi\hbar)^D} e^{-\Delta\tau{{\... ...2/2m\hbar +i{{\boldsymbol{p}}}\Delta{{\boldsymbol{x}}}/\hbar}{{\boldsymbol{p}}} = e^{-m\Delta{{\boldsymbol{x}}}^2/2\hbar \Delta\tau} \int\frac{d^D{... ...}^2/2m\hbar}({{\boldsymbol{k}}}+ \frac{im}{\Delta\tau}\Delta{{\boldsymbol{x}}})$$

$$= e^{-m\Delta{{\boldsymbol{x}}}^2/2\hbar \Delta\tau} \left(\frac{m}... ...u}\right)^{D/2} \left( \frac{im}{\Delta\tau}\Delta{{\boldsymbol{x}}}\right) \,.$$ (3.35)

Coincide con la fórmula usual excepto por un factor extra debido a la inserción. Para la inserción de ${{\boldsymbol{p}}}$ se obtiene la prescripción

$${{\boldsymbol{p}}}(t)\to \frac{im}{\Delta\tau}\Delta{{\boldsymbol{x}}}= m\frac{{{\boldsymbol{x}}}_{j+1}-{{\boldsymbol{x}}}_j}{\epsilon} \,.$$ (3.36)

Procediendo análogamente

$$\frac{{{\boldsymbol{p}}}(t){{\boldsymbol{p}}}(t-\epsilon)}{2m}\to... ...Delta t} \frac{({{\boldsymbol{x}}}_{j}-{{\boldsymbol{x}}}_{j-1})}{\Delta t} \,.$$ (3.37)

Si se inserta ${{\boldsymbol{p}}}^2/2m$ en $t$ , la integral en momentos es del tipo

$$\int\frac{d^D{{\boldsymbol{p}}}}{(2\pi\hbar)^D} e^{-\Delta\tau{{\... ...2m\hbar +i{{\boldsymbol{p}}}\Delta{{\boldsymbol{x}}}/\hbar}{{\boldsymbol{p}}}^2 = e^{-m\Delta{{\boldsymbol{x}}}^2/2\hbar \Delta\tau} \int\frac{d^D{... ...2/2m\hbar}({{\boldsymbol{k}}}+ \frac{im}{\Delta\tau}\Delta{{\boldsymbol{x}}})^2$$

$$= e^{-m\Delta{{\boldsymbol{x}}}^2/2\hbar \Delta\tau} \left(\frac{m}... ...a\tau}\Delta{{\boldsymbol{x}}}\right)^2 +\frac{D\hbar m}{\Delta\tau}\right) \,,$$ (3.38)

es decir, se obtiene la prescripción

$$\frac{{{\boldsymbol{p}}}^2(t)}{2m}\to \frac{m}{2}\left(\frac{{{\b... ..._{j+1}-{{\boldsymbol{x}}}_j}{\epsilon}\right)^2 -\frac{i\hbar D}{2\epsilon} \,.$$ (3.39)

Ambos sumandos divergen en el límite del continuo $\epsilon\to 0$ [ya que $\Delta x^2\approx (\hbar/m)\Delta\tau$ ], y su suma tiene límite finito.