Solución

a) Haciendo una traslación $y=x+a$

$$L=\frac{1}{2}m{\dot x}^2-\frac{1}{2}m\omega^2x^2-fx = \frac{1}{2}m{\dot y}^2-\frac{1}{2}m\omega^2y^2+C$$ (3.41)

con

$$a=\frac{f}{m\omega^2}\,,\qquad C=\frac{f^2}{2m\omega^2}$$ (3.42)

por tanto, $L$ es el lagrangiano de un oscilador armónico para $y$

$$\langle x,T\vert x,0\rangle_{\omega,f} = e^{iCT/\hbar}\langle y,T\vert y,0\rangle_{\omega,f=0}$$

$$= \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sen(\omega T)}} \exp\left(\frac... ...rac{f}{m\omega^2}\right)^2 + \frac{i}{\hbar}\frac{f^2}{2m\omega^2}T \right) \,.$$ (3.43)

b) Tomando ahora el límite $\omega\to 0$ con todo lo demás fijo, resulta

$$\langle x,T\vert x,0\rangle_{\omega=0,f} = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar T}} \exp\left( -\frac{i}{\hbar}Tfx -\frac{if^2T^3}{24m\hbar} \right) \,.$$ (3.44)