Método Monte Carlo

(a) En el experimento de la aguja de Buffon se mide, mediante el método Monte Carlo, el área de un círculo dibujado en el suelo contando qué proporción de veces cae una aguja tirada al azar sobre el círculo. Para el problema análogo en $d$ dimensiones, consideramos un cubo $d$ -dimensional centrado y de lado 2, $C_d=[-1,1]^d\subset {\mathbb{R}}^d$ , y la esfera maciza inscrita en el cubo, $E_d=\{\vert\vert x\vert\vert<1\,,x\in{\mathbb{R}}^d\}\subset C_d$ . Para medir el volumen de la esfera, se generan puntos aleatorios equidistribuidos en el cubo. Estudiar la eficiencia del método a medida que la dimensión aumenta.

(b) Explicar cómo usar el método del cambio de variable para muestrear una gaussiana bidimensional mediante una variable auxiliar $\vec{z}\in{\mathbb{R}}^2$ con distribución uniforme en $[0,1]^2$ . (Sugerencia, usar coordenadas polares.) Aplicar el resultado para muestrear una gaussiana unidimensional.