Solución

(a) La eficiencia sería máxima si la esfera llenara todo el cubo y disminuye si el volumen de la esfera es pequeño (principio de muestreo relevante). En efecto el volumen de la esfera disminuye con la dimensión. Sea $V_d$ dicho volumen ($\theta$ denota la función paso)

$$V_d=\int d^dx\,\theta(1-\vert\vert x\vert\vert)$$ (3.45)

en coordenadas esféricas

$$V_d=\int d^{d-1}\Omega\int_0^1 dr r^{d-1} = S_{d-1}\frac{1}{d}$$ (3.46)

donde $S_{d-1}$ es el ángulo sólido, igual a la superfice de la esfera unidad. La forma más cómoda de obtener $S_{d-1}$ es considerar una gaussiana $d$ dimensional con simetría radial

$$1=\int d^dx e^{-\pi \vert\vert x\vert\vert^2}= \int d^{d-1}\Omega\int_0^\infty dr r^{d-1}e^{-\pi r^2} = \frac{1}{2}S_{d-1}\pi^{-d/2}\Gamma(d/2)$$ (3.47)

(usando el cambio $y=r^2$ , $dy=2rdr$ y $\int dy y^{a-1}e^{-y}=\Gamma(a)$ ). Se deduce que

$$S_{d-1}=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\,,\qquad V_d=\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac{d}{2}+1)} \,.$$ (3.48)

(Usando

$$x\Gamma(x)=\Gamma(x+1),\quad \Gamma(1)=1,\quad \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi},$$ (3.49)

para radio $R$ se obtiene para las dimensiones más bajas

$$\begin{matrix}V_0=1, & V_1=2R, & V_2=\pi R^2, & V_3=\frac{4\pi}{3}R^3, \cr S_{-1}=0, & S_0=2, & S_1=2\pi R, & S_2=4\pi R^2\,. \quad) \end{matrix}$$ (3.50)

La fracción ocupada por la esfera es

$$f_d=\frac{V_d}{2^d}=\frac{\pi^{d/2}}{2^d\Gamma(\frac{d}{2}+1)} =\... ...}{2}\right)^d\frac{1}{(d/2)!} \sim \left(\frac{e\pi}{2 d}\right)^{d/2}\to 0 \,.$$ (3.51)

(b) Usando coordenadas esféricas

$$1=\frac{1}{\pi}\int dxdy e^{-(x^2+y^2)} =\frac{1}{\pi}\int_0^{2\p... ...i \int_0^\infty dr r e^{-r^2} = \int_0^1\frac{d\phi}{2\pi} \int_0^1 d(e^{-r^2})$$ (3.52)

se deduce que las variables $a_1=\phi/(2\pi)$ y $a_2=e^{-r^2}$ se distribuyen uniformemente en $[0,1]$ , de ahí que tomando dos variables aleatorias $a_1$ , $a_2$ con distribución uniforme en $[0,1]$ , se obtiene $z=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ con distribución gaussiana deshaciendo el cambio de variable

$$r=(-\log(a_1))^{1/2}\,,\quad \phi= 2\pi a_2\,, \quad x=r\cos\phi\,,\quad y=r\sen\phi\,.$$ (3.53)

Las variables $x$ , $y$ tienen distribución

$$\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$$ (3.54)

y son variables gaussianas unidimensionales (el método las genera por pares).