Grupo euclídeo bidimensional

El grupo euclídeo bidimensional está formado por traslaciones y rotaciones en el plano. Sobre una partícula cuántica sin espín (espacio de Hilbert $L^2({\mathbb{R}}^2)$ ), el grupo actúa según

$$U(\varphi,{{\boldsymbol{a}}})\vert{{\boldsymbol{x}}}\rangle = \vert R(\varphi){{\boldsymbol{x}}}+{{\boldsymbol{a}}}\rangle\,,$$ (1.4)

donde $R$ es la rotación de ángulo $\varphi$ y ${{\boldsymbol{a}}}$ la traslación.

1)

Obtener la acción del grupo sobre la función de onda.

2)

Obtener los generadores infinitesimales en $L^2({\mathbb{R}}^2)$ (que serán operadores diferenciales sobre la función de onda).

3)

Obtener las relaciones de commutación.