Representación del grupo euclídeo

En dos dimensiones espaciales, el grupo formado por rotaciones (planas), traslaciones (espaciales) y dilataciones es el conjunto de aplicaciones ${{\rm g}}:{\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{R}}^2$

$${{\boldsymbol{x}}}\mapsto {{\rm g}}{{\boldsymbol{x}}}:= \lambda R... ...}}(2),~{{\boldsymbol{a}}}\in{\mathbb{R}}^2, ~\lambda\in{\mathbb{R}}, ~\lambda>0$$ (1.5)

donde $R$ es una rotación en el plano, ${{\boldsymbol{a}}}$ produce una traslación, y $\lambda$ produce una dilatación ${{\rm g}}=(R,{{\boldsymbol{a}}},\lambda)$ . Obtener la ley de composición y verificar que se trata de un grupo.

Se sabe que el sistema formado por una partícula cuántica sin espín tiene esta simetría:

$$\psi\in {{\rm L}}^2({\mathbb{R}}^2),\quad \vert\psi\rangle\mapsto... ...angle=U({{\rm g}})\vert\psi\rangle \,,\quad U({{\rm g}})^\dagger U({{\rm g}})=1$$ (1.6)

que actúa según:

$$\psi^{{\rm g}}({{\boldsymbol{x}}})= N({{\rm g}})\psi({{\rm g}}^{-1}{{\boldsymbol{x}}})\,,\quad N({{\rm g}})>0$$ (1.7)

(o equivalentemente $\psi^{{\rm g}}({{\rm g}}{{\boldsymbol{x}}})= N({{\rm g}})\psi({{\boldsymbol{x}}})$ ), y la función $N({{\rm g}})$ (que se elige real y positiva) está definida de modo que $U({{\rm g}})$ sea unitaria.

Se pide i) determinar $N({{\rm g}})$ , ii) obtener los generadores infinitesimales del grupo (que serán operadores en ${{\rm L}}^2({\mathbb{R}}^2)$ ) y verificar que son hermíticos, y iii) obtener el álgebra de Lie correspondiente (es decir, las relaciones de conmutación entre generadores). ¿Es esta representación proyectiva? ¿Forman la dilataciones un subgrupo invariante?