Solución

Sea $G$ el conjunto de transformaciones generadas por rotaciones, traslaciones y dilataciones. En particular para una rotación de ángulo $\phi$

$$R=\begin{pmatrix}\cos\phi & -\sen\phi \cr \sen\phi & \cos\phi \end{pmatrix}.$$ (1.8)

Para obtener la ley de composición consideramos dos transformaciones sucesivas ( ${{\rm g}}_2$ seguida de ${{\rm g}}_1$ ):

$${{\boldsymbol{x}}}\mapsto \lambda_2 R_2{{\boldsymbol{x}}}+{{\bold... ...mbol{a}}}_1 = \lambda_{12} R_{12}{{\boldsymbol{x}}}+{{\boldsymbol{a}}}_{12} \,.$$ (1.9)

Se obtiene que la transformación

$${{\rm g}}_1{{\rm g}}_2:={{\rm g}}_1\circ{{\rm g}}_2={{\rm g}}_{12}=(R_{12},{{\boldsymbol{a}}}_{12},\lambda_{12})$$ (1.10)

es también de $G$ (el conjunto de transformaciones es cerrado bajo composición) y se lee la ley de composición:

$$R_{12}=R_1R_2\,,\quad {{\boldsymbol{a}}}_{12}={{\boldsymbol{a}}}_1+\lambda_1 R_1{{\boldsymbol{a}}}_2 \,,\quad \lambda_{12}=\lambda_1\lambda_2 \,.$$ (1.11)

El neutro es $e=(1,{{\boldsymbol{0}}},1)$ y está en $G$ y también el inverso

$${{\rm g}}^{-1}=(R^{-1},-\lambda^{-1}R^{-1}{{\boldsymbol{a}}},\lambda^{-1}) \in G\,,$$ (1.12)

luego es un grupo (la propiedad asociativa es automática para la composción de aplicaciones). Nótese que por construcción

$${{\rm g}}_1({{\rm g}}_2{{\boldsymbol{x}}})=({{\rm g}}_1{{\rm g}}_2){{\boldsymbol{x}}}\,.$$ (1.13)

i) Forma explícita de $U_{{\rm g}}$ .

Impongamos la condición de que $U({{\rm g}})$ sea unitario en $L^2({\mathbb{R}})$

$$\langle\psi\vert\phi\rangle= \int d^2x\,\psi^*({{\boldsymbol{x}}})\phi({{\boldsymbol{x}}})$$ (1.14)

$$\langle\psi^{{\rm g}}\vert\phi^{{\rm g}}\rangle= \int d^2x N_{{\r... ...= \lambda^{-1}R^{-1}({{\boldsymbol{x}}}-{{\boldsymbol{a}}}):={{\boldsymbol{y}}}$$ (1.15)

usando

$$d^2x=\lambda^2 d^2y \qquad(\det R=1)$$ (1.16)

$$\langle\psi^{{\rm g}}\vert\phi^{{\rm g}}\rangle= \int d^2y\lambda... ...)\phi({{\boldsymbol{y}}}) = \lambda^2 N_{{\rm g}}^2 \langle\psi\vert\phi\rangle$$ (1.17)

y unitaridad equivale a

$$N_{{\rm g}}=\lambda^{-1} \,.$$ (1.18)

La definición completa es pues

$$\psi^{{\rm g}}({{\boldsymbol{x}}})= \lambda^{-1} \psi(\lambda^{-1}R^{-1}({{\boldsymbol{x}}}-{{\boldsymbol{a}}})) \,.$$ (1.19)

Podemos ahora comprobar que ${{\rm g}}\mapsto U_{{\rm g}}$ es en efecto una representación del grupo $G$ y que ésta es no proyectiva. La definición de $U_{{\rm g}}$ equivale a

$$U_{{\rm g}}\psi=N_{{\rm g}}\psi\circ{{\rm g}}^{-1}$$ (1.20)

(composición de aplicaciones) entonces

$$U_{{{\rm g}}_1}U_{{{\rm g}}_2}\psi = N_{{{\rm g}}_1}(U_{{{\rm g}}_2}\psi)\circ{{\rm g}}_1^{-1} = N_{{{... ...}_1^{-1} = N_{{{\rm g}}_1}N_{{{\rm g}}_2}\psi\circ({{\rm g}}_1{{\rm g}}_2)^{-1}$$

$$= N_{{{\rm g}}_1}N_{{{\rm g}}_2}N_{{{\rm g}}_1{{\rm g}}_2}^{-1}U_{{{\rm g}}_1{{\rm g}}_2}\psi$$ (1.21)

es decir

$$U_{{{\rm g}}_1}U_{{{\rm g}}_2} = U_{{{\rm g}}_1{{\rm g}}_2}$$ (1.22)

(es una representación) siempre que

$$N({{\rm g}}_1{{\rm g}}_2)= N({{\rm g}}_1)N({{\rm g}}_2)$$ (1.23)

lo cual se verifica en nuestro caso.

ii) Generadores infinitesimales.

Consideramos un elemento infinitesimal del grupo $G$ . Para rotaciones, traslaciones, y dilataciones esto corresponde, respectivamente, a parámetros $\delta\phi$ , $\delta{{\boldsymbol{a}}}$ y $1+\delta\lambda$ (y no $\delta\lambda$ , el neutro no es $\lambda=0$ sino $\lambda=1$ ). Para los generadores infinitesimales asociados usamos el convenio

$$U_{{\rm g}}=1-i\delta G =1-i\delta\phi J-i\delta{{\boldsymbol{a}}}{{\boldsymbol{P}}}-i\delta\lambda D \,.$$ (1.24)

Usamos el método más directo

$${{\rm g}}^{-1}{{\boldsymbol{x}}} = \lambda^{-1}R^{-1}({{\boldsymbol{x}}}-{{\boldsymbol{a}}})= (1-\de... ... 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1-\delta a_1 \cr x_2-\delta a_2 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} x_1-\delta a_1+\delta\phi x_2 -\delta\lambda x_1 \cr x_2-\delta a_2-\delta\phi x_1 -\delta\lambda x_2 \end{pmatrix} \,.$$ (1.25)

$$\psi^{{\rm g}}({{\boldsymbol{x}}}) = \lambda^{-1}\psi({{\rm g}}^{-1}{{\boldsymbol{x}}})$$ (1.26)

$$= (1-\delta\lambda) \psi(x_1-\delta a_1+\delta\phi x_2 -\delta\lambda x_1, x_2-\delta a_2-\delta\phi x_1 -\delta\lambda x_2)$$

$$= \left(1-\delta\lambda +(-\delta a_1+\delta\phi x_2 -\delta\lambda... ...delta\phi x_1 -\delta\lambda x_2)\partial_2\right) \psi({{\boldsymbol{x}}}) \,.$$

De aquí se leen los generadores

$$J = -i(x_1\partial_2-x_2\partial_1)= ({{\boldsymbol{L}}})_3\,,\qquad {{\boldsymbol{L}}}={{\boldsymbol{x}}}\times{{\boldsymbol{P}}}\,,$$

$$P_1 = -i\partial_1\,,\quad P_2=-i\partial_2\,,\qquad {{\boldsymbol{P}}}=-i\nabla \,,$$

$$D = -i(1+x_1\partial_1+x_2\partial_2)=-i ({{\boldsymbol{x}}}\nabla +1)={{\boldsymbol{x}}}{{\boldsymbol{P}}}-i \,.$$ (1.27)

(En general es más cómodo calcular cada generador por separado, considerando transformaciones infinitesimales de cada subgrupo por separado, en vez de todos a la vez; el hecho de que un grupo sea subgrupo de un grupo mayor no afecta a la forma de sus generadores.)

Tomando adjuntos se ve que en efecto son hermíticos. En particular, para las dilataciones esto se consigue con el sumando $-i$ en $D$ que viene directamente de $N_{{\rm g}}$ :

$$D^\dagger= ({{\boldsymbol{x}}}{{\boldsymbol{P}}}-i)^\dagger= {{\b... ...ol{P}}}{{\boldsymbol{x}}}+i= ({{\boldsymbol{x}}}{{\boldsymbol{P}}}-2i)+i= D \,.$$ (1.28)

iii) Relaciones de conmutación.

Todos los generadores en esta representación están construidos con los operadores ${{\boldsymbol{x}}}$ y ${{\boldsymbol{P}}}$ , que satisfacen las relaciones

$$[x_i,x_j]=[P_i,P_j]=0\,,\qquad [x_i,P_j]=i\delta_{ij} \,.$$ (1.29)

Por tanto usando identidades del tipo

$$[AB,C]=[A,C]B+A[B,C] \,,$$ (1.30)

es inmediato obtener las relaciones de conmutación entre generadores

$$[P_i,P_j]=0 \,, \quad [J,P_1]=iP_2\,,\quad [J,P_2]=-iP_1 \,, \quad [J,D]=0 \,,\quad [D,{{\boldsymbol{P}}}]=i{{\boldsymbol{P}}}\,.$$ (1.31)

Como se ve, $D$ no define un ideal del álgebra (por $[D,{{\boldsymbol{P}}}]=i{{\boldsymbol{P}}}$ )) y por tanto las dilataciones no forman un subgrupo invariante: lo que para un observador es una dilatación pura, para un observador trasladado es una dilatación más traslación. Subgrupos invariantes son el formado por las traslaciones, y el generado por traslaciones y rotaciones (grupo euclídeo).