Generadores infinitesimales

El grupo $({\mathbb{R}}^+,\cdot)$ de los números reales positivos con el producto, actúa como un grupo de simetría sobre el espacio de Hilbert de una partícula unidimensional restringida a moverse en el semieje positivo, $L^2({\mathbb{R}}^+)$ , a saber,

$$\alpha\in({\mathbb{R}}^+,\cdot) \mapsto U(\alpha) \,,\qquad \psi^\prime(x)=(U(\alpha)\psi)(x)= f(x,\alpha)\psi(x^\alpha)$$ (1.32)

(donde $x^\alpha$ quiere decir el número positivo $x$ elevado a la potencia positiva $\alpha$ ). (a) Determinar $f$ de modo que el operador $U(\alpha)$ sea unitario. (b) Obtener el generador infinitesimal y ver si es autoadjunto. [Fórmula útil: $a^\epsilon= e^{\epsilon\log a} =1+\epsilon \log a+O(\epsilon^2)$ .]