Solución

(a) Para que $U(\alpha)$ sea unitario imponemos que la norma se conserve:

$$\vert\vert\psi^\prime\vert\vert^2 = \vert\vert\psi\vert\vert^2$$ (1.33)

$$\vert\vert\psi^\prime\vert\vert^2= \int_0^\infty dx \vert\psi^\pr... ...vert^2= \int_0^\infty dx \vert f(x,\alpha)\vert^2\vert\psi(x^\alpha)\vert^2 \,.$$ (1.34)

Definiendo

$$y=x^\alpha\,,\qquad dy=\alpha x^{\alpha-1}dx$$ (1.35)

se ve que $\vert\vert\psi^\prime\vert\vert^2$ coincide con

$$\vert\vert\psi\vert\vert^2= \int_0^\infty dy \vert\psi(y)\vert^2$$ (1.36)

imponiendo

$$\vert f(x,\alpha)\vert^2= \alpha x^{\alpha-1}$$ (1.37)

es decir

$$f(x,\alpha)= \alpha^{1/2}x^{(\alpha-1)/2}e^{-i\theta(x,\alpha)}\,, \quad \theta\in{\mathbb{R}}\,.$$ (1.38)

$\theta(x,\alpha)$ es una transformación de gauge arbitraria.

(b) Generador infinitesimal. El elemento neutro del grupo corresponde a $\alpha=1$ . Como coordenada (que debe anularse en el neutro) tomamos $t$ , definida por

$$\alpha=1+t \,.$$ (1.39)

Para calcular el generador infinitesimal consideramos un elemento infinitesimal del grupo, $\alpha= 1+\delta t$ , y evaluamos $\psi^\prime$ en este caso:

$$\alpha^{1/2}=(1+\delta t)^{1/2}= 1+ \frac{1}{2}\delta t$$ (1.40)

$$x^{(\alpha-1)/2}= x^{\delta t/2}= e^{\delta t/2\log x} = 1+ \frac{1}{2}\delta t\log x$$ (1.41)

$$\exp(-i\theta(x,\alpha))= 1-i\phi(x)\delta t \,,\qquad \phi(x)=\frac{\partial \theta}{\partial \alpha}\Big\vert _{\alpha=1}$$ (1.42)

(usando que $U(\alpha=1)=1$ requiere $f(x,1)=1$ y $\theta(x,1)=0$ ). Finalmente

$$\psi(x^\alpha) = \psi(x^{1+\delta t})=\psi(x x^{\delta t})=\psi(x(1+\delta t \log x))= \psi(x+\delta t x\log x)$$

$$= \psi(x)+\delta t x\log x\frac{d}{dx}\psi(x) \,.$$ (1.43)

En conjunto

$$\psi^\prime(x)=\left(1+\frac{1}{2}\delta t +\frac{1}{2}\delta t\log x -i\phi(x)\delta t\right) \left(1+\delta t x\log x\frac{d}{dx}\right)\psi(x)$$ (1.44)

es decir ( $\psi^\prime= \psi+\delta\psi$ )

$$\delta\psi(x)= \delta t \left(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\log x -i\phi(x)+ x\log x \frac{d}{dx}\right)\psi(x)$$ (1.45)

Comparando con la definición del generador infinitesimal

$$\delta\psi(x)= -i\delta t G \psi(x)$$ (1.46)

se obtiene

$$G= \frac{i}{2} +\frac{i}{2}\log x +\phi(x)+i x\log x \frac{d}{dx} \,.$$ (1.47)

Es inmediato ver que es formalmente hermítico, notando que

$$G^\dagger= -\frac{i}{2} -\frac{i}{2}\log x +\phi(x) -i\left(x\log x \frac{d}{dx}\right)^\dagger$$ (1.48)

y

$$\left(x\log x \frac{d}{dx}\right)^\dagger= -\frac{d}{dx} x\log x =- x\log x \frac{d}{dx}-\log x-1$$ (1.49)

Más en detalle es inmediato verificar, integrando por partes,

$$\langle\psi_1\vert G\vert\psi_2\rangle= \int_0^\infty \psi_1^*(x)G\psi_2(x)= \langle\psi_2\vert G\vert\psi_1\rangle^*$$ (1.50)

(el término de superficie se anula debido al factor $x\log x$ en $G$ ).