FTA: Cada ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n raíces en el cuerpo de los complejos.
De hecho existen muchas formulaciones equivalentes del FTA. Por ejemplo, que cada polinomio real puede ser expresado como producto de factores lineales reales o cudráticos reales.
Los primitivos estudios (circa 800 d.C.) llevados a cabo por al-Khwarizmi sólo buscaban raíces reales positivas y el FTA no tenía sentido. Cardano fue el primero en darse cuenta que uno podía trabajar con cantidades más generales que los números reales. El descubrimiento lo hizo trabajando para hallar las raíces de una cúbica. Esos métodos aplicados a la ecuación x^3 = 15x + 4 dieron una respuesta que implicaban la raíz cuadrada de -121, Cardano sabía que la ecuación tenía a x = 4 como raíz y fue capaz de manipular con números complejos (aunque no acababa de entender el porqué) hasta hallar la solución correcta. Bombelli, en su Algebra, publicado en 1572, dió unas reglas para manipular estos nuevos números.
Descartes en 1637, dijo que uno puede imaginar para cada ecuación de grado n, n raíces pero que estas n raíces podían no corresponder con cantidad real alguna. Vieta dió ecuaciones de grado n con n raíces. Sin embargo, el primero que afirmó que siempre existían n soluciones fue un matemático flamenco Albert Girard en 1629 en su L'invention en algèbre. Pero no afirmó que fueran complejos; o sea, números de la forma a + bi, a, b reales, permitiendo la posibilidad de cuerpos más grandes que C. De hecho, ese fue el problema del FTA durante muchos años puesto que los ¡matemáticos aceptaban la afirmación de Albert Girard como inmediata!. Aceptaban que una ecuación de grado n debe tener n raíces, el problema para ellos era demostrar que tenían la forma a + bi, a, b reales.
Aunque parece que Harriot sabía que un polinomio que tiene una raíz a (en un cuerpo), era divisible por x-a. Esto fue establecido por Descartes en 1637 en La géométrie. Albert Girard no dió estas razones para entender el concepto de raíz. Una demostración de la falsedad del FTA fue dada por Leibniz en 1702 (demostrando que hasta los grandes se equivocan) cuando aseguró que x^4 + 1 no podía ser escrito como el producto de dos factores cuadráticos complejos. Su error fue no darse cuenta que la unidad imaginaria i tiene dos raíces cuadradas complejas √2/2+i√2/2 y -(√2/2+i√2/2). Euler, en 1742 demostró que el contraejemplo de Leibniz era falso.
En 1746, D'Alembert hizo el primer intento serio de demostración del FTA. Para un polinomio f, tomó dos números reales b, c tal que f(b) = c. Entonces, demostró que existen dos complejos z1 y w1 tal que |z1| < |c|, |w1| < |c| y f(z1)=w1. Entonces, itera el proceso para converger a una raíz de f. Su demostración tenía varias debilidades. En primer lugar, usa un lema sin demostración que no fue demostrado hasta 1851, por Puiseau, pero ¡cuya demostración usa el FTA!. En segundo lugar, no usó ningún criterio de compacidad para la existencia de la convergencia. No obstante, las ideas de la esta demostración son importantes.
Al poco tiempo, Euler fue capaz de probar que todo polinomio real con grado, n < 7, tiene exactamente n raíces complejas. En 1749, intentó una demostración del caso general, o sea, el FTA para polinomios reales. Su demostración, que aparece en Recherches sur les racines imaginaires des équations, está basada en descomponer un polinomio mónico reducido (con a_{n-1}=0), de grado n=2^r, en el producto de dos polinomios mónicos de grados iguales, 2^{r-1}. Multiplicando posiblemente el polinomio inicial por un factor de la forma ax^k y aplicando después un cambio lineal para convertirlo en uno mónico reducido y de grado potencia de dos. Ya en el Ars Magna de Cardano aparece el cambio de variable para hacer cero el coeficiente de la segunda potencia mas grande de la indetrerminada. O sea, en descomponer un polinomio mónico de grado 2n en dos de grados m = 2n-1. Suponiendo que
x^{2m} + Ax^{2m-2} + Bx^{2m-3} +. . . = (x^m + tx^{m-1} + gx^{m-2} + . . .)(x^m - tx^{m-1} + hx^{m-2} + . . .)
y entonces multiplica en el segundo miembro e iguala coeficientes. Euler afirmó que esto conduce a obtener los coeficientes g, h, ... como funciones racionales de los coeficientes originales A, B,... Esto lo realizó paea n = 4, pero esquematizó el caso general.
En 1772, Lagrange planteó objeciones a la demostración de Euler. Afirmó que las funciones racionales podían conducir eventualmente a la contradicción 0/0. Lagrange usó su conocimiento de las permutaciones de las raíces para encontrar todos los puntos débiles de la demostración de Euler. El único incoveniente es que el propio Lagrange estaba usando que las raíces existían y que podía trabajar con ellas y deducir propiedades.
En 1795, Laplace trató de probar el FTA usando el discriminante de un polinomio. Su demostración era muy elegante solo que de nuevo suponía la existencia de las raíces.
A Gauss se le concede el crédito de la primera demostrración del FTA. En 1799, en su tesis doctoral presentó su esquema de demostración y también todas las objeciones a las anteriores. Fue el primero en observar que todas ellas suponían la existencia de las raíces y deducían propiedades de ellas. Él mismo no afirmó tener la demostración, sino que una demostración rigurosa debía ir en esos términos. Esta primera demostración de Gaus es en esencia topológica y tiene serios inconvenientes. Hoy día no es aceptada.
En 1814, el contable suizo Jean Robert Argand publicó una demostración del FTA que posiblemente sea la más simple de todas. Su demostración está basada en una idea de d'Alembert de 1746. Argand había esquematizado esas ideas en una publicación anterior, Essai sur une manière de représenter les quantitiés imaginaires dans les constructions géometriques. En ese artículo interpretaba la unidad imaginaria i como un giro de 90 en el plano, haciendo surgir lo que hoy día llamamos plano de Argand o diagrama de Argand; o sea, la representación geométrica de los números complejos. En su artículo Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyse, Argand simplifica la idea usando un teorema general sobre la existencia de un mínimo de una función continua.
En 1820, Cauchy le dedicó un capítulo completo de su Cours d'analyse a la demostración de Argand (aunque sorprendentemente no adjudica el crédito a nadie, o sea no nombra a Argand). Esta demostración en aquella época no es completamente rigurosa, ya que el concepto de extremo inferior no había sido desarrollado todavía. La demostración de Argand fue recogida por Chrystal en su libro de texto Algebra en 1886. Este libro fue muy divulgado y la demostración de Argand se hizo famosa.
En 1816, dos años mas tarde de la demostración de Argand, Gauss dió una demostración del FTA. Gauss usó la aproximación de Euler pero en vez de operar con raíces que pueden no existir, Gauss opera con indeterminadas. Esta demostración completa la de Euler y es correcta. Otra demostración (tercer intento) de Gauss también de 1816 es, como la primera, de naturaleza topológica. Gauss introduce en 1831 el término 'número complejo'. En 1821, Cauchy había introducido el término 'conjugado'.
Sin embargo, las críticas de Gauss a la demostración de Lagrange-Laplace del FTA no fueron aceptadas en Francia. En la 2ª edición, de 1828, del tratado de ecuaciones de Lagrange no aparece todavía ninguna demostración salvo la incorrecta de Laplace-Lagrange.
En 1849, 50 años después de su primer intento, Gauss produjo la primera demostración del enunciado general de que una ecuación de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas. La demostración es similar a la primera (con los mismos inconvenientes), lo único que hace es deducir el resultado para coeficientes complejos a partir del resultado sobre polinomios reales. Merece la pena resaltar que, a pesar de la insistencia de Gauss de no suponer la existencia de las raíces cuando se trata de demostrar su existencia. Él mísmo creía, como todos en su época, que había una jerarquía de cantidades imaginarias de las cuales los números complejos eran solo los más simples. Gaus los llamó "sombra de sombras".
En 1843, buscando esas generalizadciones de los números complejos, Hamilton descubrió los cuaternios, aunque estos no son conmutativos. Tienen todas las propiedades de un cuerpo salvo la conmutativa del producto. La primera demostración de que el único cuerpo (conmutativo) algebráico que contiene a los números reales es C, la dió Weierstrass en sus lecciones de 1863. Ésta fue publicada en en el libro de Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme.
Naturalmente, todas las demostraciones anteriores son válidas, una vez que se establece el resultado de la existencia del cuerpo de descomposición de cualquier polinomio. Frobenius, en la celebración en Besel del bicentenario del nacimiento de Euler dijo: Euler dió la demostración mas algebráica de la existencia de las raíces de una ecuación, basándose en que una ecuación real de grado impar tiene, por continuidad, que tener una raíz real. Es injusto atribuir la demostración totalmente a Gauss, que en realidad sólo añadió los toques finales.
La célebre demostración de Argand del FTA es un teorema de existencia que no es constructivo. Sin embargo, en 1940, Hellmuth Kneser publicó una variante constructiva de la demostración de Argand. Esa demostración fue simplificada en 1981, por su hijo Martin Kneser.