Red: monoides y aplicaciones

Códigos, combinatoria algebraica y enumerativa, curvas monomiales

Coordinador: Santiago Zarzuela Armengou (Universitat de Barcelona)

Componentes

Maria Bras Amorós (Universitat Rovira i Virgili)
Teresa Cortadellas Benítez (Universitat de Barcelona y Universitat Pompeu Fabra)
Juan Elías García (Universitat de Barcelona)
Julio Fernández González (Universitat Politècnica de Catalunya)
Roser Homs Pons (estudiante de doctorado, Universitat de Barcelona)
Raheleh Jafari (Mosaheb Institute of Mathematics, Kharazmi University, Irán)
Francesc Planas Vilanova (Universitat Politècnica de Catalunya)
Alonso Sepúlveda Castellanos (Universidade Federal de Uberlândia, Brasil)
José Miguel Serradilla Merinero (estudiante de doctorado, Universitat Rovira i Virgili)
Klara Stokes (Hamiltonian Institute, Maynooth University, Irlanda)
Francesco Strazzanti (INdAM y Università degli Studi di Catania, Italia)
Santiago Zarzuela Armengou (Universitat de Barcelona)

Descripción de la actividad investigadora
El grupo centra su actividad en diversas aplicaciones de los semigrupos numéricos. En primer lugar, a la teoría de códigos, concretamente de códigos correctores de errores digitales. Estos se utilizan para poder detectar y corregir los errores que se pueden producir en la transmisión o almacenaje de datos a través de canales o dispositivos defectuosos que distorsionen la información que se manda o almacena. También se utilizan códigos correctores de errores en el almacenaje distribuido de datos en la nube. La teoría tiene por objeto el diseño y la implementación de códigos con buena capacidad para corregir errores, pero que supongan un coste bajo de envío de la información codificada, así como de algoritmos correctores que nos permitan recuperar la información original. Los semigrupos numéricos constituyen una herramienta muy útil para la parametrización de la capacidad correctora y de la redundancia de los códigos algebraicos, así como para el funcionamiento de sus algoritmos decodificadores.
La combinatoria algebraica y la combinatoria enumerativa son disciplinas relativamente recientes. La primera usa técnicas propias del álgebra, la topología y la geometría para la resolución de problemas combinatorios, o bien al contrario, usa métodos combinatorios para abordar problemas en esas áreas. Por otro lado, la combinatoria enumerativa trata del recuento de elementos de un conjunto finito. Se considera un colección infinita de conjuntos finitos indexados por algún conjunto (habitualmente, el de los números naturales) y se estudia simultáneamente el número de elementos de cada conjunto como una función del índice. En el grupo nos centramos en el recuento de semigrupos numéricos en general, o bien en el recuento más específico de semigrupos con determinadas propiedades, en la confluencia de las dos disciplinas: la combinatoria algebraica y la combinatoria enumerativa.
Todo semigrupo numérico proporciona la parametrización de una curva monomial cuyo anillo de funciones es el correspondiente anillo de semigrupo. Se establece así una rica correspondencia entre las propiedades aritméticas de la curva monomial (las de su anillo de funciones) y las del correspondiente semigrupo numérico. Las curvas monomiales constituyen un caso paradigmático desde el punto de vista de la geometría y del álgebra conmutativa, tanto por su complejidad como por su posible estudio efectivo, donde verificar resultados más generales tanto para curvas del espacio afín como para variedades de dimensión superior. El grupo estudia algunos de las aspectos fundamentales de las curvas monomiales, como son su función de Hilbert, la caracterización de las propiedades aritméticas del cono tangente de la curva (Cohen-Macaulay, Gorenstein, Buchsbaum, intersección completa), sus resoluciones libres, o el comportamento de esas propiedades por operaciones como el gluing. Las técnicas utilizadas provienen tanto del estudio directo del semigrupo numérico, principalmente mediante bases de Apéry, como del ideal de definición del anillo de semigrupo. Este es un ideal tórico para cuyo estudio se emplean a menudo los métodos de la combinatoria algebraica.