Apuntes y Ejercicios de Cálculo

Algunos consejos para resolver problemas

Hirió mi mente un relámpago,  que colmó mi deseo.

DANTE: Paradiso, Canto XXXIII

Por favor, dame un problema

Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas. 

Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.  

¿Qué es un problema?

El verdadero problema es que hace ya mucho tiempo que en las enseñanzas medias se olvidaron de los problemas. No me preguntes por qué. Yo no soy ningún experto en el tema, pero mi impresión es que en algunas de las teorías pedagógicas de moda (las que hablan de enseñanza lúdica o de aprender a aprender y otras bobadas por el estilo) subyace una enorme desconfianza en la capacidad de los jóvenes para aprender. Por ello, no es extraño que en la Reforma de las enseñanzas medias los ejercicios más o menos triviales hayan acabado por sustituir a los bonitos problemas de antes, aquellos que proponían los profesores antes de que los teóricos de todas las reformas les convencieran de que sus alumnos eran demasiado torpes. Por eso, es muy posible que hayas llegado a la universidad sin haberte enfrentado nunca con un problema de verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.

EJERCICIOS

• De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
• Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
• El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
• Proponen tareas perfectamente definidas.

PROBLEMAS

• Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.  
• Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
• El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
• En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.

ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR

Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.

La actitud inicial es importante

Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?

Ten confianza en tus capacidades

Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.

Sé paciente y constante

No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo. 

Concéntrate en lo que haces

Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.

Busca el éxito a largo plazo

Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.

 

 

ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

No existen reglas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, sí se pueden señalar algunos pasos generales para el proceso de resolverlos. Los que siguen están sacados del libro How To Solve It de George Polya y de los libros Aventuras Matemáticas y Para pensar mejor de Miguel de Guzmán cuya lectura te recomiendo vivamente. 

A Comprende el problema

Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningún dato interesante. Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones... Esto es imprescindible para afrontar el problema con garantías de éxito. 

B Elabora un plan de actuación

Cuando ya estás seguro de haber entendido bien el problema y crees tener toda la información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Al final te indico algunas de las más frecuentes.

C Lleva adelante tu plan

Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabájala con decisión y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas nada a la solución, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al primer intento. 

¿Salió? ¿Seguro? Revisa el resultado y cerciórate bien de que has llegado a la solución. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco. 

D Mira atrás y reflexiona sobre todo el proceso

¿Has resuelto el problema? ¡Enhorabuena! ¿Has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentándolo con ganas, y has acabado por no resolverlo? ¡Enhorabuena también! Se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés y tesón... y no resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el proceso. Esta etapa puede ser la más provechosa de todas... y la que más a menudo olvidamos realizar. 

• Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O, por qué no has llegado a la solución? ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Habías intuido la estrategia correcta en el paso B? ¿O, por qué no se te ocurrió pensar en ella? ¿Qué es lo que te engañó al escoger estrategias? ¿Cuál fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien? 
• Revisa la solución desde un principio tratando de comprender bien no sólo que funciona sino por qué funciona. Mira a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple. 
• Familiarízate con el método de solución, a fin de utilizarlo en problemas futuros. Descartes dijo una vez: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que más adelante me sirvió para solucionar otros problemas." 
• Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con experiencias repetidas como ésta tal vez te puedas hacer un diagnóstico de tu propio estilo de conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. ¿Cómo es tu pensamiento? ¿Visual o analítico? ¿Dependes mucho de la expresión verbal o de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos, obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrías fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues, tendrás una gran ventaja al saber en qué clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en cuáles tu probabilidad de éxito no es tan grande. Sabrás cómo abordar problemas, no ya matemáticos, sino de toda clase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo.

E Redactar el proceso de resolución

Esfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.

 

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

• Buscar semejanzas con otros problemas
  
  Nada hay nuevo bajo el sol. ¿A qué te recuerda la situación? ¿No intuyes que tal vez sea como aquella otra?
  
  
• Reducir lo complicado a lo simple
  
  Normalmente el camino correcto para la resolución de un problema complicado es la división de este en otros más sencillos. 
  
  
• Considerar casos particulares
  
  En algunas ocasiones, experimentar con casos particulares te pone en la pista correcta para resolver el caso general.
  
  
• Hacer un dibujo
  
  A veces, una imagen vale más que mil palabras. En el dibujo o esquema que hagas debes incorporar los datos realmente importantes y prescindir de lo demás. No necesitas hacer un dibujo muy preciso. El objetivo es que sirva de apoyo para avanzar en la resolución.
  
   
• Estudiar todos los casos posibles
  
  Se trata de ver todas y cada una de las posibilidades y analizar si se pueden aceptar o descartar y por qué.
  
  
• Elegir una buena notación
  
  Eligiendo una buena notación, un problema se puede simplificar notablemente. El objetivo es relacionar los datos con las variables elegidas y tratar de hacer los cálculos de la mejor manera posible. A la hora de elegir una buena notación, debemos tener presente que ésta sea clara, concisa y sin ambigüedades. La notación mejor es la que expresa abreviadamente la función misma de los elementos que representa.
  
   
• Incorporar algo adicional
  
  A veces, al incorporar un elemento nuevo, por ejemplo, una línea o una incógnita, se ponen de manifiesto relaciones que de otra forma pueden pasar desapercibidas.
  
  
• Ensayo y error
  
  Es una estrategia muy utilizada en nuestra vida: obramos de una determinada manera, observamos qué pasa, decidimos otras alternativas, etc. Estamos procediendo por ensayo y error. En matemáticas se suele emplear en multitud de ocasiones.
  
  
• Trabajar hacia atrás
  
  A veces es de gran ayuda imaginar que el problema está resuelto y trabajar paso a paso hacia atrás hasta llegar a la información conocida. Sólo entonces estarás en condiciones de recorrer en sentido contrario el camino y construir una solución. 
  
  
• Razonamiento indirecto
  
  Ocasionalmente será apropiado atacar el problema de manera indirecta.  Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. Para demostrar que P implica Q se puede suponer que P es verdadera y Q es falsa, y tratar de ver por qué esto es imposible. 
  
  
• Aprovechar la simetría
  
  En algunos problemas existen, a veces encubiertas, ciertas regularidades o simetrías que pueden aprovecharse para resolverlos.
  
  
• Usar técnicas generales
  
  Por ejemplo, para demostrar resultados que involucran un entero positivo n, es de utilidad valerse del Principio de Inducción matemática. Otras veces, puede ser útil el llamado principio del palomar que se expresa así: si tienes n objetos que repartir en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos objetos.
  
  
• Usar programas de cálculo simbólico
  
  Si puedes hacerlo ¿por qué no? Programas como Mathematica, Maple o Derive pueden proporcionarte una gran ayuda en muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso.