Los conos y cilindros que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.
Haya unos conos y cilindros de la misma altura cuyas bases son los círculos ABCD, EFGH, sus ejes KL, MN y los diámetros de sus bases AC, EG . Digo que, como el círculo ABCD es al círculo EFGH, así el cono AL al cono EN.
Porque, si no, como el círculo ABCD, es al círculo EFGH, así será el cono AL o a un sólido menor o a uno mayor que el cono EN. Séalo en primer lugar al sólido menor Q , y sea el sólido V igual a aquello en lo que el sólido Q es menor que el cono EN; entonces el cono EN es igual a los sólidos Q, V. Inscríbase el cuadrado EFGH en el círculo EFGH ; entonces el cuadrado es mayor que la mitad del círculo. Levántese a partir del cuadrado EFGH una pirámide de igual altura que el cono; entonces la pirámide levantada es mayor que la mitad del cono: puesto que, si circunscribimos un cuadrado en torno al círculo y levantamos a partir de él una pirámide de igual altura que el cono, la pirámide inscrita es la mitad de la circunscrita, pues son entre sí como sus bases [Prop. XII.6]; mientras que el cono es menor que la pirámide circunscrita. Divídanse en dos partes iguales las circunferencias EF, FG, GH, HE, por los puntos O, P, R, S, y trácense HO, OE, EP, PF, FR, RG, GS, SH . Entonces, cada uno de los triángulos HOE, EPF, FRG, GSH es mayor que la mitad del segmento de círculo en que está. Levántese sobre cada uno de los triángulos HOE, EPF, FRG, GSH una pirámide de igual altura a la del cono. Entonces cada una de las pirámides levantadas es mayor que la mitad del segmento de cono en que está. Ahora, si dividimos en dos partes iguales las circunferencias que quedan y trazamos rectas uniendo los puntos de división y levantamos sobre cada uno de los triángulos pirámides de igual altura a la del cono y procedemos así sucesivamente dejaremos ciertos segmentos de cono que serán menores que el sólido V [Prop. X.1]. Déjense y sean los de HOE, EPF, FRG, GSH. Entonces, la pirámide restante cuya base es el polígono HOEPFRGS y su altura la misma que la del cono es mayor que el sólido Q. Inscríbase también en el círculo ABCD el polígono DTAYBUCX semejante y situado de manera semejante al polígono HOEPFRGS, y levántese sobre él una pirámide de igual altura que el cono AL . Pues bien, dado que, como el cuadrado de AC es al cuadrado de EG, así el polígono DTAYBUCX al polígono HOEPFRGS [Prop. XII.1], mientras que, como el cuadrado de AC es al cuadrado de EG, así el círculo ABCD al círculo EFGH [Prop. XII.2], entonces, también, como el círculo ABCD es al círculo EFGH, así el polígono DTAYBUCX al polígono HOEPFRGS. Pero, como el círculo ABCD es al círculo EFGH, así el cono AL al sólido Q, y como el polígono DTAYBUCX es al polígono HOEPFRGS así la pirámide cuya base es el polígono DTAYBUCX y su vértice el punto L a la pirámide cuya base es el polígono HOEPFRGS y su vértice el punto N [Prop. XII.6]. Entonces, también, como el cono AL es al sólido Q, así la pirámide cuya base es el polígono DTAYBUCX y su vértice el punto L a la pirámide cuya base es el polígono HOEPFRGS y su vértice el punto N [Prop. V.11]. Luego, por alternancia, como el cono AL es a la pirámide inscrita en él, así el sólido Q a la pirámide inscrita en el cono EN [Prop. V.6]. Pero el cono AL es mayor que la pirámide inscrita en él; entonces, el sólido Q es mayor que la pirámide inscrita en el cono EN. Pero también menor; lo cual es absurdo; por tanto, el cono AL no es a un sólido menor que el cono EN como el círculo ABCD al círculo EFGH. De manera semejante demostraríamos que tampoco el cono EN es a algún sólido menor que el cono AL, como el círculo EFGH es al círculo ABCD. Digo ahora que tampoco el cono AL es a algún sólido mayor que el cono EN como el círculo ABCD es al círculo EFGH.
Pues, si fuera posible, séalo al sólido mayor Q. Entonces, por inversión, como el círculo EFGH es al círculo ABCD, así el sólido Q al cono AL. Pero, como el sólido Q es al cono AL, así el cono EN a un sólido menor que el cono AL; entonces, también, como el círculo EFGH es al círculo ABCD, así el cono EN a un sólido menor que el cono AL; lo cual se ha demostrado que es imposible; luego el cono AL no es a un sólido mayor que el cono EN como el círculo ABCD al círculo EFGH. Pero se ha demostrado que tampoco lo es a uno menor; por tanto, como el círculo ABCD es al círculo EFGH, así el cono AL al cono EN. Pero como el cono es al cono, así el cilindro al cilindro, porque cada uno es respectivamente el triple del otro [Prop. XII.10]. Luego también, como el círculo ABCD es al círculo EFGH, así los cilindros levantados sobre ellos que son de la misma altura.
Por consiguiente, los conos y cilindros que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.
Q. E. D.