Toda pirámide que tiene como base un triángulo se divide en dos pirámides iguales, semejantes una a otra y a la pirámide entera, que tienen triángulos como bases, y se divide en dos prismas iguales; y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.

Sea una pirámide cuya base es el triángulo ABC y su vértice el punto D Paso 1. Digo que la pirámide ABCD se divide en dos pirámides iguales una a otra que tienen triángulos como bases y semejantes a la pirámide entera, y en dos prismas iguales; y que los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.

Divídanse, pues, en dos partes iguales AB, BC, CA, AD, DB, DC por los puntos E, F, G, H, K, L Paso 2; y trácense HE, EG, GH, HK, KL, LH, KF, FG Paso 3. Puesto que AE es igual a EB y AH es igual a DH, entonces EH es paralela a DB [Prop. VI.2]. Por lo mismo, HK es también paralela a AB. Entonces HEBK es un paralelogramo; luego HK es igual a EB [Prop. I.34], Pero EB es igual a EA; por tanto, AE es también igual a HK, Pero AH es igual a HD; entonces las dos rectas EA, AH son iguales respectivamente a las dos rectas KH, HD; y el ángulo EAH es igual al ángulo KHD; así pues, la base EH es igual a la base KD [Prop. I.4]. Luego el triángulo AEH es igual y semejante al triángulo HKD. Por lo mismo, el triángulo AHG es también igual y semejante al triángulo HLD. Y como las dos rectas que se tocan EH, HG, son paralelas a las dos rectas que se tocan KL, DL y no están en el mismo plano, comprenderán ángulos iguales [Prop. XI.10]. Entonces, el ángulo EHG es igual al ángulo KDL. Y como las dos rectas EH, HG son iguales respectivamente a las dos rectas KL, DL, y el ángulo EHG es igual al ángulo KDL, entonces la base EG es igual a la base KL [Prop. I.4]; luego el triángulo EHG es igual y semejante al triángulo KDL. Por lo mismo, el triángulo AEG es también igual y semejante al triángulo HKL. Por tanto, la pirámide cuya base es el triángulo AEG y su vértice el punto H es también igual y semejante a la pirámide cuya base es el triángulo HKL y su vértice el punto D [Prop. XI.10]. Y puesto que HK ha sido trazada paralela a uno de los lados del triángulo ADB, el lado AB, los triángulos ADB, DHK son equiangulares [Prop. I.29] y tienen los lados proporcionales; luego el triángulo ADB es semejante al triángulo DHK [Prop. VI.1]. Por lo mismo, el triángulo DBC es semejante al triángulo DKL y el triángulo ADC al triángulo DLH. Ahora bien, como las dos rectas que se tocan, BA, AC, son paralelas a las dos rectas que se tocan, KH, HL, y no están en el mismo plano, comprenderán ángulos iguales [Prop. XI.10]. Entonces el ángulo BAC es igual al ángulo KHL. Y como BA es a AC, así KH a HL; luego el triángulo ABC es semejante al triángulo HKL. Por tanto, la pirámide cuya base es el triángulo ABC y su vértice el punto D es semejante a la pirámide cuya base es el triángulo HKL y su vértice el punto D. Pero se ha demostrado que la pirámide cuya base es el triángulo HKL y su vértice el punto D es semejante a la pirámide cuya base es el triángulo AEG y su vértice el punto H. Por tanto, cada una de las pirámides AEGH, HKLD es semejante a la pirámide entera ABCD. Ahora bien, como BF es igual a FC, el paralelogramo EBFG es el doble del triángulo GFC. Y puesto que, si hay dos prismas de la misma altura, y uno tiene como base un paralelogramo y el otro un triángulo, y el paralelogramo es el doble del triángulo, los prismas son iguales [Prop. XI.39], entonces el prisma comprendido por los dos triángulos BKF, EHG y los tres paralelogramos EBFG, EBKH, HKFG es igual al prisma comprendido por los dos triángulos GFC, HKL y los tres paralelogramos KFCL, LCGH, HKFG. Y queda claro que cada uno de los prismas —a saber: aquel cuya base es el paralelogramo EBFG y HK su recta opuesta y aquel cuya base es el triángulo GFC y HKL su triángulo opuesto— es mayor que cada una de las pirámides cuyas bases son los triángulos AEG, HKL y sus vértices los puntos H, D; porque, si trazamos las rectas EF, EK, el prisma cuya base es el paralelogramo EBFG y HK su recta opuesta es mayor que la pirámide cuya base es el triángulo EBF y su vértice el punto K. Pero la pirámide cuya base es el triángulo EBF y su vértice el punto K es igual a la pirámide cuya base es el triángulo AEG y su vértice el punto H: porque están comprendidas por planos iguales y semejantes. De modo que el prisma cuya base es el paralelogramo EBFG y HK su recta opuesta es mayor que la pirámide cuya base es el triángulo AEG y su vértice el punto H. Pero el prisma cuya base es el paralelogramo EBFG y HK su recta opuesta es igual al prisma cuya base es el triángulo GFC y HKL su triángulo opuesto; y la pirámide cuya base es el triángulo AEG y su vértice el punto H es igual a la pirámide cuya base es el triángulo HKL y su vértice el punto D. Por tanto, los dos prismas antedichos son mayores que las dos pirámides antedichas cuyas bases son los triángulos AEG, HKL y sus vértices los puntos H, D.

Por consiguiente, la pirámide entera cuya base es el triángulo ABC y su vértice el punto D se ha dividido en dos pirámides iguales entre sí y en dos prismas iguales. Y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.

Q. E. D.