En los paralelogramos los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí, y la diagonal los divide en dos partes iguales.
Sea ▱ΑCDΒ el paralelogramo , y su diagonal ΒC . Digo que los lados y los ángulos opuestos del paralelogramo ▱ΑCDΒ son iguales entre sí, y que la diagonal ΒC lo divide en dos partes iguales.
Pues como ΑΒ es paralela a CD, y la recta ΒC ha incidido sobre ellas, los ángulos alternos ∠ΑΒC = ∠ΒCD [Prop. I.29] . Como a su vez ΑC es paralela a ΒD, y ΒC ha incidido sobre ellas, los ángulos alternos ∠ΑCΒ = ∠CΒD [Prop. I.29] . Entonces △ΑΒC, △ΒCD son dos triángulos que tienen ∠ΑΒC = ∠ΒCD, ∠ΒCΑ = ∠CΒD y un lado igual a un lado, el correspondiente a los ángulos iguales, común a ellos: ΒC; así pues, también tendrá los lados restantes iguales respectivamente a los lados restantes, y el ángulo restante igual al ángulo restante [Prop. I.26]; por tanto, el lado ΑΒ = CD, ΑC = ΒD, y además ∠ΒΑC = ∠CDΒ. Y dado que ∠ΑΒC = ∠ΒCD, y ∠CΒD = ∠ΑCΒ, entonces ∠ΑΒD = ∠ΑCD [N.C. 2]. Pero se ha demostrado que ∠ΒΑC = ∠CDΒ.
Por consiguiente, en los paralelogramos los lados y ángulos opuestos son iguales entre sí.
Digo entonces que también la diagonal los divide en dos partes iguales.
Pues como ΑΒ = CD y ΒC es común, entonces ΑΒ = CD, ΒC = ΒC; y ∠ΑΒC = ∠ΒCD. Por tanto ΑC = DΒ. Y △ΑΒC = △ΒCD [Prop. I.4].
Q. E. D.