Si a partir de los extremos de uno de los lados de un triángulo se construyen dos rectas que se encuentren en el interior de él, las rectas construidas serán menores que los dos lados restantes del triángulo, pero comprenderán un ángulo mayor.
Sobre ΒC, uno de los lados del triángulo △ΑΒC , a partir de los extremos Β, C constrúyanse dos rectas ΒD, DC que se encuentren en el interior de él . Digo que ΒD + DC ⊏ ΒΑ + ΑC, pero comprenden el ángulo ∠ΒDC mayor que el ángulo ∠ΒΑC. Prolónguese ΒD hasta Ε . Y puesto que en todo triángulo dos lados son mayores que el restante [Prop. I.20], entonces ΑΒ + ΑΕ ⊐ BE en el triángulo △ABE; añádase a uno y a los otros el lado ΕC, entonces ΒΑ + AC ⊐ ΒΕ + ΕC. Asimismo, puesto que los lados CΕ + ΕD ⊐ CD en el triángulo △CΕD, añádase a uno y a los otros el lado DΒ; entonces CΕ + ΕΒ ⊐ CD + DΒ. Pero se ha demostrado que ΒΑ + ΑC ⊐ ΒΕ + ΕC; entonces ΒΑ + ΑC ⊐ ΒD + DC. Asimismo, como en todo triángulo, el ángulo externo es mayor que el interno y opuesto [Prop. I.16]; entonces en el triángulo △CDΕ, ∠ΒDC ⊐ ∠CΕD. Por la misma razón, también en el triángulo △ABE el ángulo externo ∠CΕΒ ⊐ ∠ΒΑC. Pero se ha demostrado que ∠ΒDC ⊐ ∠CΕΒ; luego ∠ΒDC ⊐ ∠ΒΑC.
Q. E. D.